Материал: Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов
где
е—
N |
/ . |
Ми |
( Л * и - 1 |
3 |
|
~
ОО
ей = Е < *
№ + *)! ( - 1 )*
4=0
малогимио у поверхности второго включения радом
|
и » + |
^ |
(А 2, "„{тг.О-,) + |
|
||
|
|
II=- ОО ^ |
|
|
|
|
|
+ с;'и и?(»-2, |
^ |
, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
л1 X] |
К С -кТ1 |
|
(к + п)\ |
(-])" |
(п > 0) , |
|
|
*! п! |
Йь+П+ 1 |
||||
к=в |
' |
|
|
|
|
|
С1 |
- 2 6 -к -1 |
( Н и)! |
И Г |
( * > 0) |
|
|
4! я! |
|
Д±+"+1 |
|
|||
|
к-а |
|
|
|
|
|
Учитывая свойство ортогональности полиномов Лежандра, легко выписать систему линейных уравнений для определения неизвест ных коэффициентов в разложениях напряженно-деформированного состояния но решениям (5)-(8). Это осуществляется приравнивани ем выражений на границе матрица — включение.
При решении задач итерационным методом осуществляем следу ющее: 1) для значений коэффициентов И*п_| и С*п^\ (я > 0), взятых с предыдущего шага, определяем нз граничных условий пер вого включения коэффициенты Л1П_, и С 1 п _ { (я > 0), а так
же хоэффицнс[1ТЫ в разложениях наиряжспно-деформированиого
состояния первого включения но решениям (&)-(<>); 2) но найден ным значениям коэффициентов Л1„_| и С 1 п _ { (и > 0) опре деляем нэ граничных услолнй второго включения коэффициенты Л-»-I » С?п_! (» > 0), а также коэффициенты в раэложепи- НХ1ГапрЯЖС1Н(О-ЛС(]>ОрМ)1рОПП1П10['О состояния второго включения но
а |
6 |
Рис. 7 . |
Распределение нолеII гидростатических напряжений (а) к ниЕсислииосм |
|
напряжений (6) рокруг сферических включений |
||
решениям (5), |
(6). Полагаем, что па нервом шаге коэффициенты |
|
Л1л^ |
и С1 „_ | |
(п > 0) равны нулю. |
Пример решения задачи о нагружении двух сферических вклю чений показан на рис. 2. Для получения результата с точностью до 0,001 (точность удоалстворения граничных условий на поверхностях включений) совершалось 20 итераций. Разложение гармонических потенциалов осуществлялось но 25 сферическим функциям. Бремя счета задачи на персональном компьютере 1ВМ 486/1ЭХ2-66 соста вляло 4 с (без построения изолиний).
Время нахождения решения пропорционально произведению 12ВА/73 (*1»омс того требуется еще некоторое время па пересчет пра вых частей системы уравнений, пропорциональное 4Р2). Числом М обозначено выполненное число итераций; Р — количество сфериче ских функций в разложении гармонических потенциалов. В данной задаче получается очень удобная для вычислении ленточная ма трица с ширимой лепты, равной О. Ничего подобного нс происходит при решении задачи без иснол1*эоваимя итерационного алгоритма. При прямой реализация вычислений необходимо решить систему лилейных уравнений с полностью заполненной матрицей размером ВР х 8Р. На это затрачивается машинное лремя, пропорциональное произведению б Ш *3 (при условии, что задачу удастся решать без обменов).
Важное проймущесшо данного метода заключается в том, что при решении задачи со сферическими включениями не требуется хранить в машинной нам яти большом массив хоэффициентоо ма трицы системы линейных уравнений (нее величины вычисляются по известим формулам п момент, когда они нужны для осуще ствления нычислсннН), Однако метод становится расходящимся при приближении часгни наполнителя друг к другу. Можно достаточ но эффективно получить решение для значения зазора Н = 0, 1/21. Одппко для меньших исличи и з.чэора или алгоритм становится рас ходящимся, или требуется совершение большого числа итерации и «пользование большого числа членов гармонических рядов (алго ритм становится неэффективным).
4, Использование итерационного алгоритма при решении задам с помощью граничных интегральных уравнений
Возможно представление возмущении и, не только в виде рядоп по некоторым функциям, но и непосредственно через интегралы по поверхностям 5,- рассматриваемых включении. В частности, с помо щью метода граничных интегральных уравнении возмущения и,- в объемной задаче представляются равенствами
* которых тензоры О к задаются формулами [1, 2]
С |
{^(3-4 |
) |
|
1 С т { 1 — у ) | г , | 1 ( 3 |
|
|
|
1
вМ 1 - и п-м* *
1 1 И |
Н 1 1 1 1 1 1 |
|
2 а |
|
|
<=э- с э |
<=> <=» |
с=> о > |
«=> СГ=> С=> С @ |
о с=> с==» |
|
I Ж I I I I I I I I
Рис. 3. Гсол1С1|Ц1Ч плсамбли полостей и услампс нагружения, нспольтуемые для анализа эффсктинпосги итерационного алгоритма. Прямоугольником еко- л» центрального нклюпоиия обознамена область, в которой на ряс. '1 показаны
поля напряжении;
Время получения решения (при кусочко-лостаявпоВ аппрокси мации поверхностиих усилий и перемещений на элементах) должно было быть пропорционально произведению К М (Р + О)3. Время ре шения задачи "и лоб” без использования итерационного алгоритма пропорционально (УУР+С)3. Для нашего случая теоретический вы игрыш по времени должен был составить 181 раз. В реальности же эта величина оказались рапной Ы разу, так как формула дня оценки эффективности не учитывала. время подсчета вектора правой ча сти, производящегося и.т каждой итерации. Кроме того, применение нашего подхода позволило задействован, в Н 1 раз меньше компью терной памяти.
Полученные и результате счета распределения полей ннтемсивностиых (а) и гидростатических (б) напряжений и выделенной на рис. .1 области показаны на рис. 4. Полагалось, что па бесконеч-