чсскне потенциалы ^ |
г ф\ , |
п котором вектор и,- имеет пид |
||
2р. «к |
|
|
3 |
|
= |
V ( ^ |
+ ( г - г,-) - ^ |
* * ) - |
|
|
|
|
Ь=1 |
|
|
- |
л е |
е* , |
|
|
|
|
1=1 |
|
где в! , еа , еэ — базисные векторы прямоугольной Декартовой си стемы координат; / е — модуль сдвига; V — к о э ф финне][т Пуассона; г — радиус-вектор точек с в яз у Е о щ с го ; г; — радиус-вектор точки, ле жащей внутри г-го включения. Скалярные функции (потенциалы)
^ 1 , фз должны удовлетворять уравнениям
Д $ = 0 (/.- = 0, 1 , 2 ,3)
н стремиться к нулю
$ -» 0
при удалении от 1-го включения
|г - |
14*1 -♦ О» , |
где |
|
г,- " |г - Г*| = |
- Г») • (г - г,-) , |
А — оператор Лапласа.
Примером таких потенциалов могут служить ряды но степеням
расстояннл |г - |
г,| и шаровым функциям [5]: |
|
|
Фт = |
( Аз2 г,/ *“ (*“ <) + в{? |
вт(/о,-)) Р/(сову»,) , |
|
|
>=0 к =0 |
|
|
где |
, Я.-*1 |
— неопределенные коэффициенты; /^(...) — присо |
|
единенные функции Лежандра; д, , а* , п — сферические коорди наты с началом отсчета в точке г*, Сферическая система координат, связанная с Г-м включением, определяется выражениям и
= |
п |
ВП1 0( созсц , |
у,- = |
4 в т ^ вш о , , |
|
= 4 |
С050[ . |
|
Рис. I. Схема шк-ружсния бескоие«гпого упругого про*
при:стоп, содержащего ада
сферических включении |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Вектор г определяется с помощью сиязи
= 14 + р1 &1П^ совсг^О| + ръ втр| в’та^еа +
+ Р% совр, Сз
Проиллюстрируем этот подход на задаче с двумя сферическими ВТЛЮЧС1ШЯМН (рис. 1). Пусть на бесконечности приложено единич ное растягивающее напряжение, действующее вдоль линии центров этих включении. На границе требуется удовлетворить условиям полного прилипания. Модуль Юнга включений б 10000 раз выше модуля матрицы (включения практически не деформируются при нагружении). Коэффициент Пуассона возьмем равным 0,5 для ма трицы к ДЛЯ частиц наполнителя. Пусть одна из сфер имеет радиус Я: = I, а вторая Л* = 0,5. Зазор между ними равен к = 0,55 Л ь Мы имеем осесимметричную задачу.
Напряженно-деформированное состояние в матрице и частицах наполнителя в системах координат, соответствующих этим вклю чениям, можно представить п виде линейной комбинации частных
решении [8]:
|
Н/ |
= |
0,5 /Г 1 |
п г,"~] Рп , |
|
л |
«« |
= |
О.ВуГ1 |
! - , ' - 1 Рп' |
|
ип |
|
||||
|
иа |
= |
0 ; |
|
|
= |
0,5 /Г-1 (2п + 1) 1 (п - |
3 Ч Л и ) х |
|||
|
х |
г," |
^(п + 1) РгН.1 + та |
Р .,-1^ |
|
и# |
= |
0,5/с“3 (2гг + 1)-1 г*'1 х |
|
|
|
|
|
X ^(й —3 + №) Р„ + 1 + |
|
|
|
|
|
+ (п + 4 ~ ^ ) ^ . , ^ , |
|
|
|
, **в |
- |
|
|
|
|
|
«г |
- |
0,6 р " 1 ( п + 1) г Г п“ а К |
, |
|
|
Щ |
0,5 1С' гГ " - * Р п>, |
|
|
|
|
иа |
0 ; |
|
|
|
|
|
- - О 16 /г 1 (2 ц + 1 ) - , х |
|
|
|
|
|
х (и Ч- Л - Ли) г г " -1 |
х |
|
|
|
|
х |
^(п + 1) л ,+, + л Р„_1^ |
, |
|
|
щ = 0 , 5 (2п + I) - 1 г Г ”- 1 X |
|
|||
|
|
х |
^ ( п - 3 44(0 Р„'+1 + |
|
|
|
|
4 |
(п 4 4 - 4у) Я„'_, ^ |
, |
|
<4
(в)
О)
. На = О
Здесь п = 0, 1 , 2, 3,...; /с, V — соответственно модуль сдвига и коэф фициент Пуассона рассматриваемо!! среды; Рп = РЛ(созО,) — поли номы Лежандра от аргумента соз0,;
При этом внутри включения разложение поля нерсмсщсЕШЙ осуще ствляется только ло решениям (5), (6), так как перемещения не мо гут принимать бесконечные значении.
Поверхностные усилии на границе включений характеризуются компонентами напряженно, имеющими (о соответствии с равенства ми (5)-(8)) разложение по следующим частным решениям:
' сгтг |
= |
а (п - |
1 ) г,"-* Р„ , |
Т » = < |
= |
(и - 1) |
Рп' , |
«го |
= |
0 ; |
|
.. (2л + I) - 1 г,— ‘ х
«•га |
= |
0 ; |
|
|
|
|
«гг |
= |
(л + 1) (п + 2) Г," " -3 Рп , |
Т -п -1 » |
^ |
<ТГ, |
= |
- (п + 2) Г{-"“ 3 Р„’ |
! «га = о ;
(п 4 1 ) (2п 4 1) 1 г* " " '2 х
х Ц^(п2 +4 Ьп6л + 4 - 2сг) Рп+1 +
4 л (и - И - 4 ^ ) РЛ - 1 |
) |
- (2п 4 1)“ 1 г г п’ 2 |
х |
О.
Вматрице напряженно-деформированное состояние можно пред ставить в виде однородного поля нагружения и “возмущения" от
каждого из включений [8], которые в соответствующих системах ко ординат определяются о виде разложения по решениям (7), (8):
и1
и = |
4 |ц 4 112 ■ |
(9) |
где и — перемещения точек матрицы;Иоо — перемещения, соответ ствующие однородному полю нагружения; иг — возмущепия от с -го включения (? = 1 , 2); Л|_п_ 1 , С?_л_| — пспэвестныс коэффициенты.
У поверхности первого включения перемещения и матрице пред ставляются (равенство (9) в координатах г\ и 0| [8]) рядом