математическое ожидайке М (и) и дисперсии 1}(п) которого соответ ственно раины
М{п) = ЛГт , |
(23) |
^ ( п ) = Мт (1 - т) |
(24) |
В диапазоне О, I < па < 0,9 оно хорошо аппроксимируется нормаль* ПЫМ распределением (21] с плотностью вероятности случайной ВеЛИЧНиМ
« ■ - Т и к г г ч Ч - ^ ^ ) |
" |
Таким образом, статистические особенности накопления переходов структурных элементов из А в В полностью определятся поведени ем только одного параметра тл. В соответствии с равенством (23), параметр т имеет физический смысл математического ожидания числа структурных элементов в состоянии В о момент 1}деленного на N. А эту величину мы можем рассчитать на основании утвер ждения (18)
171
(26)
Па этом закапчивается первый этан построения модели,
4.2.Применение стохастической модели к описанию роста отслосшности в наполненном эллстоморо с малой концентрацией твердой фазы
Теперь следует вложить коикретныЛ физический смысл в приве денные математические выражения. Нод событием перехода струк турного элемента системы из состояния А и В следует попинать появление на включении материала новой нахуоли. Однако расче ты будут более удобны, если считать, что отслосинс матриц!,1 от включений л|хзисходит сразу но осей их поверхности и приводит к
мгновенному появлению сразу двух вакуолей. Качественная сторо на ксслвдовамия при этом не пострадает. Л количественная сторона сейчас для нас не главная. Важно понять, что нового можно полу чить о рамках рассматриваемого подхода. Включения достаточно удалены друг от друга. Поэтому событие появления повреждений па одном из них можно считать независимым от появлении повре ждении на других. Формулы (22)-(26) пригодны для описания такой ситуации.
Практическое применение выражений требует уточнения, что по нимается под, функцией {({). ГСе разумно выбратьтдк, чтобы данное описание было дальнейшим развитием рассмотренного ранее под хода. Полное согласование с формулами (12), (14) достигается в случае, когда под величиной ((0 понимается функция от времени
т =Ц
з
(5 — поверхность исотслосииого включения). Скалярная характе ристика отрывного усилии <хл является функцие» координат к вре мени. Б условиях, соответствующих нагружению материала с по стоянной скоростью движения захватов, она принимает шщ
« О = 7 » Л Э ,
ВДВ
а= 8 ^ 1 ;
7 = 1 1 <ггг* Н&гг) 33 ;
Р5
<г — напряжения на удалении от включений; гр — радиус частиц наполнителя; Е — модуль Юнга матрицы; с* — скорость макро скопического деформирования материала. О этом случае изменение параметра т определяется равенством
Проиллюстрируем закономерности роста отслосшкостп в слабо* наполненных образцах иа конкретных примерах. Проведем следу ющий компьютерный эксперимент. Рассмотрим четыре образца, ка ждый из которых содержит но сто включении. Моделируется ситу ация, когда образцы растягиваются с одинаково» макроскопической скоростью движения захватов. Иле интересуют особенности мате матического моделирования кинетики накопления отслоений. Ча стицы наполнителя удалены друг от друга ид достаточное расстоя ние. Поэтому каждая из них имеет одно и то же поле напряжений около поверхностей включении. Следовательно, .максимальное на пряжение при нагружении достигается одновременно п матрице око ло всех частиц наполнителя. Согласно обычным представлениям о
критериях прочности, отслоении связующего от поверхностей частиц должны начаться одновременно около всех включении. Подчеркнем особенно этот момент.
♦Критерии разрушения предсказывают мгновенное отслоение .па трицы сразу на осех ек.тчешгяг. Ллоико.м должны образовать ся вакуоли около всех частиц иепкмкишели.
•С «точки зрения кшн’вшко-сшатисткчесхого о» пспмил процесса возникает соосен иная ситуация. При определенном значении
.микроскопической нагрузки возможно только наступление наи более вероятного момента появления отслоений.
Некоторые вакуоли образуются до наступления такого момента, не которые позже. Процесс случаен. Поэтому отслоение матрицы од ним хлопком одновременно от всех частиц невозможно. Эго хорошо видно на получившихся и машинном эксперименте реализациях ки нетики накопления отслоений (рис. 6). Отслосниость в материале показана в эаинешиости от безразмерного растягивающего усилия
*' = Р * ,
где
Г1рн выполнении расчетоп материи] считался Гуковым, несжимае мым. В качестве конкретноговида распределения поле» напряже ний около частик наполнителя (п окрестности которых но пронзо-
Рве. 0. Случайные реализации кинетики накопления отслоеииН и о б р азу , со* держащей сто иклюмсний. г\}№— доля отсмоиашикся частиц; о* — безразмер ное растягивающее ипи|»яжс1Ц1с
шло отслоения связующего) пскользоиалось аналитическое решение для единично!! сферы (15).
На полученном графике просматриваются три области эволюции обще!! поврсждсшюстн материала. На первом этане с* < 0,4 отсло ена!! и материале мало или ист совсем. 11а втором этапе роста поцрожденаости 0,4 < с* < 1,6 происходит быстрое увеличение числа отслоеииН в материале, причем с весьма значительным разбросом (ераопиваются машинные эксперименты на розных образцах). 11а третье»! этапе 1,0 < <г* почти все или полностью нее частицы отсло ились от матрицы. Естественно задаться вопросом о статистических характеристиках разброса данных а машинных реализациях на ито гом этапе. Именно на этом участке можно ожидать значительного случайного отклонения в лучшую или худшую (с точки зрении проч ности) сторону.
Для получения плотности вероятности количества отслоенных частиц необходимо проводить не четыре, а от 7000 до 10000 ком пьютерных экспериментов. Исследовалось две серии образцов. В каждоН нскол изо)тлись разные размеры частиц наполнителя. Объ емная доля твердой фазы нссгда выбиралась одна. Достигалось это исполкоманисм разного количества включений. Так, п образцах с палыми частицами наполнителя (радиусом !170 мкм) бралось 1000
362_______________________________ Л. Д, Саидино0, у/, А „
Рис. 7. Плоткость распределения ьсроиглосш доли отслоилшихся чпспщ » образце. Образцы, содержащие 100 иключениП ( I, 2,3 ) и ЮООпключеннП (!', У, 3') длн безразмерных а * нагрузок, рмнш х соогвстсглспии (1,6 ; 0,!); 1 ,2 , Точкяим подмани результаты компьютерного эксперимент», силошноII липисН — расче ты по формулам (22), (24)
включений, с болы ш частицами (радиусом 800 мкм) — 100 оклкь
ЧСНИЙ.
Результат.! компьютерного эксперимента показаны па рис. 7. Плотности распределения доли отслоенных частиц р соотиспствуют образцам, содержащим 100 включении (кривые 1, 2, 3) л 1000 включений (кривые Р.2',3') л/]л безразмерных нагрузок а*, рапных соответственно значениям 0,0; 0,9; 1,2. Разбросы долеИ отслоенных частиц существенно выше а образцах с меньшим содержанием ча стиц нанолинтсля.
• Число рассматриваемых объектов очень оаэюю при статисти ческом моделировании процесса. В этом заключается еще едко отличие кыпетихо-статистического подхода от детерминиро ванного описания явления,
Максимальный разброс данных п компьютерных реализациях кинетики накопления отслоений наблюдается » области наиболее осроят о ю монета появления вакуоли на одном изол промином включении. При испыннх и больших макроскопических нагрузках разброс уменминеи:я. Эта тенденция хорошо видна на графике за иленмости диснс^нн Доли отслоенных частиц От от их мдтемпти'