Отсюда следует, что а(<г ~хч) — /э - 1 • Подставляя (21) —(23) в (20), получаем, с учелом (24),
^ ((К- 'э<3*-')(*, + м >з - о + §№ - вг) +
+ (/1В - с 1 - |
г/зО '-'К » :, + Л (/3 - |
1) + |
- 1)2)+ |
+ ( х ! |
+ х 'г(Л | - 1 » / з а * - 1) |
■• <5с |
г и у а . |
где выражение при вариации 6 6 г есть |\ / / з Я |
(ср. с (9з)). |
||
Для несжимаемого материала (а = 0) первый интеграл и функ ционале (16) принимает пнд
нивриация его но «г приводит х условию несжимаемости /а —1 = 0,
авариация по С* к соотношению
+ » /асзг- 1) . « о * Л 1 ,1
1Цс также выражение при вариации 6 6 * равно
3,2. Редукдкя функционала. I на линейную упругость
Из функционала (16) можно получить принципы Геррманна и Кк инфинитезимальной теории упругости, Для этого в уравнениях состояния будем ограничиваться линейными членами относительно деформации» и в энергетических соотношениях— квадратичными. О качестве упругого потенциала деформации IV используем потенциал Мурипгана
где уа — глупые ииларианты тензора деформации Коши — ГрКна. Используя соотношения (8), связывающие эти инварианты с шь варшшт&ми упругиII потенциал (25) можно представить о виде
№=? й (л _3)2 ~ т (,а - 2/1+3)
или, с учетом (7з), как
» - |
4 1 - |
2е/' |
+ |
Гз - 4)* - |
%{17 - 2 /. + 3). |
Тогда |
<7 |
1-1/,. |
|
|
|
|
|
|
|||
* |
= Т |
1 |
^ |
- 3)’ - 7 (/а- 2/, + 3)’ |
|
|
С 1 - » . , |
|
_ С \ - и |
||
Х1 “ 2 1 - 2» |
3 ' Ха |
2 1 - 2и |
|||
к, по (10), |
|
|
|
|
|
|
|
С |
1 -1 / |
|
. |
|
р1 = 1 Г ^ ' » = «* = » = *• |
||||
Возвращаясь к инвариантам деформации» получаем с точность» до квадратичных членов в (У и лине Иных п остальных соотношениях
IV = - 20 )7, к\ - О |
х |
*2 = - |
, |
Р1 = Уз = |
У |
|
1/2 = |
«] = 72 = |
XI = |
0. |
(26) |
||
Свяжем теперь величину г |
(10) с оСр в теории малых деформацийциП.. |
|||||
Вспоминая, что |
_ |
2(7(1 + р) . |
|
|
||
|
|
(27) |
||||
1Гч’ _ |
3(1-2|г)л ’ |
|||||
|
||||||
и учитывая выражения (10), (26), получаем |
|
|||||
° = П + ш(/з - 1)= 2 х , п = |
|
|
<») |
|||
Подставим (26), (28) и функционал (18): |
|
|
|
|||||
|
1 • " |
0 |
” Уц Г |
1 + № |
|
40(1 + V)1 |
*<> ~ |
|
|
|
- |
2 0 }2 - |
р°1С ■и) <1Уа - |
/ р .ц 4 5 * |
(29) |
||
Представляя дна первых члени о интеграле но объему в виде |
||||||||
1 |
-21/ |
. |
31/ |
. |
9(1- 2 м )2 а |
9|/(1-2м ) , |
||
3 1 |
+ м ^ |
|
+ 1 + и * " ’1 |
40(1 + » у ае* ~ 40(1 + м)3" 4' |
||||
и заменяя и этом выражении |
и первом и третьем слагаемы |
|||||||
формуле (27), приводим (29) к виду |
|
|
|
|||||
|
я «(«7<Р1 п ) = ! |
г ( < Ч ? - 2 ° л |
+ |
|
~ |
|||
- Щ т $ а<>- "'И " ) ^ - / , ; Р• '
Обозначая тензор малых дсс|юрм<щнП через о, его инварианты че рез 01,02 (в отличие от ;»(Б)) и вводя функцию среднего давле ния, с помощью которой осуществляется полезное масштабирова ние [2, 2 1 , 22] матрицы жесткости при численном счете методом конечных элементов,
;/ = __ 5^2__ 2 0 (1 + •/)'
приходим к известной формулировке принципа Геррманна |
|
|
Я <.(//, и) = / |
(СИ?- 2 0 ^ + 2 0 ^ / ^ -С м (1 -2 (/)Я а - |
|
- |
рЧ С -иЫ И )- / р - и ^ Й . |
(30) |
Принцип Ки получается нэ функционала (29) путем представле ния трех первых членов и объемном интеграле в виде
I - 2</_ |
, |
3(1 —2и) |
6 ( 1 - 2 ^ ^а |
и замены <т*Р п первом и четвертом слагаемых этого выражения ц0 формуле (27). И итого имеем для тензора деформации с
- X .(■ «•• - |
- * * > - 1 ® |
- |
и, учитыпая, что [12)
02~ ^0? = ^(Я еие),
где ,Ь(Г)еие) — птороИ инвариант дспнатора тензора о,
^ ( у , - |
- 2 0 М ^ ) ~ |
-/ К и ^ М о - 1
3.3.Функционалы II к 111
Как видно из изложенного выше, редукция функционала (18) на лилейную задачу не ирииодит непосредственно к принципам Герр манна илн Ки. К тому же численная реализации его, как показа ла практика, связана для некоторых задач с проблемой устоЛчипостл решения. Н связи с этим предложена следующая модификация функционала (18):
11е{<г,и) = I (*(!» - 1) - |(сг - )а + 1У (/,, /3) +
+ 5 ^ 1 + *з)((;а - 1) - о(<т - * ,) ) ’-
Эю выражение, как легко проверить, п лпнеЛпо.и случае непосред ственно индуцирует функционал (30). Введя масштабирование
<г=ЛЯ . |
Х1 =ЛЛ'*, |
А = 2 _ ц ^ .1+а*2у |
(*2) |
функционал (311 ) запишем и виде
Я «(//,1|) = ^ (я//(7д - I) - |
- х *)3 + Щ Ь .? з) + |
- рйК • и) М а - ( р и <1?.. |
(31») |
К1э последнего выражения следует при а = 1, у = 0 функционал (18), при а = 1 , у = 1 функционал (31|), при а = Л, у = 1 в линейном случае функционал (30), Варьируй функционал (ЗЬ) по У/, получа ем
^ а ^1 - |
тог(*1 + кг)) ((/а - |
1) - |
аа(Я - х*))6Н |
= 0. (33) |
|||
Варьируя (З Ь )п о и , имеем |
|
|
|
|
|||
Хо(;ё |
- >>+а,//аСГ" -а^ |
“<" - *’>- |
|||||
~ |
^ ш |
( н |
~ х " ? + а%а*-1Г - |
+ И = г+ |
|||
+ |
1 ( ш |
+ |
ш ) |
(< ,э - |
! > - |
Х>)У- + |
|
+7(*. + А,)((7а - 1) - О«(// - х*)) *
ХО*01"'- |
"0^ Я ' Х*>+ |