+ а а Ц - ) ) • • «3" <*«> ~ ^ ° К -*• Ма-
- |
( р-Л|«Ю $-0. |
|
|
(34,) |
|
Принимая по шшмакие сооткошснн |
|
|
|
|
|
лп« лт |
ЛГ!Г «■ |
3 |
|
'я ? Т |
|
ОС* “ О/, ОС |
|
|
а/, |
|
|
вытекающие из (5),(7з), |
|
|
|
|
|
да |
о, |
а ф А , |
|
|
|
д а |
0(Ы 4- *■}) |
|
0а |
_ |
|
" 1 Ш |
ОС* |
+ |
2 |
ОС1’ |
° |
вытекающее из (32), а также зависимости (21) —(23), получаем ДЛЯ (340
- У 0’ » ') ( 7,№ - 1) - Ла(1! - х*)г) + Л *М Н - х ') р !+
Л* |
\ |
+ |
- Х’)г) + ( /, 8 - С г - 2 /эС т' 1)х |
* (^(^1 —1) —Ла(Я —х’ )5) +
+ # М Ч - *'V , + ^ а * Ч2(Н - х ') 2) +
+ /1 . я / 3а г_ ') • -5Сг </и>+
+ Х |
( К (/а~ 1)~ Уи“(Н~*’))2((в_,зС‘ |
'* « |
|
|||||||||||
X ® Й !4 ± ) |
+ (Г,в - С * - |
а ь с - 1) |
0*2 |
+ |
|
|||||||||
|
д1{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|||
|
+7(*М + *а )((;з - |
0 |
- |
Л .о (я |
- |
X*)) * |
|
|
||||||
|
|
^ (( 8 - № * ’ ’) ( / .а р ! + (л .а п л - |
|
|
||||||||||
|
^ (*! + *») |
|
е л |
|
|
е у й 2?1) X |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
х п (Ч - |
х ")) + |
(Л в - |
С г — 2/з<Зг |
3) (л ,а р 1 + ^ И .а $ з- |
|
|||||||||
|
|
|
/ |
|
А |
у |
^ |
+ |
Ь |
) |
, |
|
|
|
|
|
|
р и» + ь ) |
|
он |
|
|
|
|
|
||||
+ /3 у л , , !) л ( /; - х * )) |
+ |
/ з а 1- 1)) |
• л с * ^ - |
|
||||||||||
|
- |
[ |
р с К |
• 5ис1Уо ~ |
[ |
р -^ис/5? = |
0. |
|
(34^) |
|||||
|
|
Л ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь, если /9 |
= |
0, то А , |
= |
I, ** = |
* 1 . Р? = Р> - |
дХ)/0Ъ, # |
= о; |
|||||||
если $ = 1 , то А ч = Л, р} = д х'№ Ь |
И |
|
|
|
|
|
|
|||||||
*>.= 0х\ |
д_ |
|
ЯЛс% |
|
|
|
х’ + |
^ : = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ь и |
|
|
щ |
о и |
+ О а д М |
|
|
|
||||
|
|
|
|
а(»ь. + ьа) |
|
Л5 |
, |
\ |
, |
|
(35) |
|||
|
|
|
|
|
0/‘ - |
|
|
Т |
Л |
^ |
+Хи р ;. |
|||
Легко видеть, чю с учетом (33),(35) вариационное уравнение (34г)
сводится к (19), эквивалентному системе уривисииК механики силощ-
11**к сред.
Конечно, фуикцколалы (18), (311), (31*) эквивалентны, по их чи сленная реализация методом конечных элементов приподит к раз ным системам уравнении: с раэпоП устойчивостью к возмущениям ог округления. Опыт практической работы с функционалом Геррманна и рекомендации по масштабированию систем ураппсний (2, 2 1, 22] позволили осуществить модернизацию функционала (18), привед шую к обобщенному функционалу (31 г)- Можно было поЯти другим путем: затесать вариационные уравнения для фулкнионала (311) к уже и инх осуществить масштабирование (32). Что лучше для устой чивой численной реализации — должна показать н]>актнка. Для задач же, в которых полагается, что 1ч , А'г = сопяЬ, эти подходы эквивалентны.
4.Аналитические решения
Используя определяющее уравнение (9з). (10) н функционал (18), построим точные решения трех задач с большими деформациями и покажем, в каких случаях эти решения сиодяте я к известным.
4.1.Одноосное растяжение стержня из елпбиежнмдемого материала
Для этого процесса писем и недеформировапиом состоянии
Г = Х1 +К1 + 41<, |
п = г1 *=1, |
г2 = г2 =.], |
гз = г3 = к, |
|
9Я = 9п - |
1, |
|
д = 1; |
|
и и деформированном состоянии с заданным удлинением Да |
||||
И = Д»*! + Л13ц + |
А згк , |
К.11.1,= А И з = |
А]Л, |
П з = Азк| |
(7ц = (7зг = Л3, |
Ф»з = Аз, |
|
|
|
Ои =Сг2 = 1/дг, |
О33 = 1/А3, |
|
||
О ц = С Р = Ъ Ц ф П , с = Л}Л|, /з ( С * ) = С /9 = А}А§,
|
А (С ') = г«С ч = 2 А? + А1 |
|
А ( С Г) = |
/ а{ в * ) /,( С * -1) = А М » « 0 « = А? + 2А?ЛЗ, |
|
Л = Л ~ (*з ~ 1 ) —2А^ + Ад —А}Аз + I, |
|
|
и = |
Ъ - 2(/я - 1) = А{ + 2>?Х - 2Л*?А? + 2 . |
(36) |
Будем считать, что обобщенные модули упругости материала |
а = |
|
= соп*1 к XI = сопзЬ, откуда сразу следует, что Х\ = 0- С учетом это го и соотношений (30) функционал (18) для нашей задачи запишется в виде
Я 1 (<г, А]) = ^ (<т{А{А§ - 1) - | о* + Щ К , /,))
подпал вариация которого будет
М с = Х 0( ( СА?А’ _ 1 ) —агсг^&г +
Из последнего выражения, и силу независимости вариаций Ьо и $А|, получаем
аа = А ?Л |- 1 ,
*Х\Х\ + (1 - А?А|)Д:1 + (А? + Аз - 2А?А|)Аа = 0,
где учтены соотношения (10). Первое 1сз этих уравнении дает
" = *, (1 - Щ?) +*3(2 - * Г ^ ) ' |
(а7) |
Прдстаиляя это иырожен не во второе равенство, получаем у равней но для определения А| (считаем Аг«, А’э = сопзЬ)
ск^|(Л|Аз —1) + аД*з(2А^Аэ —А* —Ад) —А® Аз + А|Ад —0, |
(38) |
решение которого будем искать в виде ряда по малому параметру ос [5,10,15,51], ограничиваясь только лкшсИпыми членами:
А! = Ао -Ьаг$.
Тогда
А? = АЗ + 2аАо4, А| = А$ + б*А&.
Подставляя эти выражения в (38) и сравнивал члены при одинако вых степенях от, получаем
Л| = |
1/>з, |
|
&|Ад(Аа —1 ) + &а(2 Ад —1 —Ад) |
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
. |
_ 1 |
|
&1 Аз(Ад — 1) 4- ^2 (2Ад - |
I - Ад) |
|
1 |
, о А|Аа(Аэ —1 ) + ^'Д2Ад —1 —А3) |
||
А ,- А ^ + 2 |
А^ |
• |
||
С учетом этого соотношение (37) записывается в виде |
||||
, |
т . |
, |
М з (Аз - 1 ) + * * ( 2 А § - 1 - А З ) ., |
|
V = |
<гв + ач = |
-------------------д2--------------------X |
||
* ( 1 + Й |
(*, + ^ |
) ) ’ |
ИО) |
||
при получении которого использовано разложение |
|||||
1 _ |
1 |
_ |
1 |
о |
^ |
А? " |
+ 2сгА0е ^ |
АЗ |
“ л?‘ |
||
Теперь с помощью (9з), (Ю) можно легко определить физические (от несенные к ортонорыироианиому базису) составляющие тензора ис тинных напряжений:
<'■ = (” = 2 ( 1 - а?а3) а1+