|
+ 2 |
+ Ла —2 А^Аз^ |
+ 2<гЛ5а3л |
|
|||
|
<эз = 2 |
- А?ЛЭ^ Яц + 4А3(1 - А?)^ + 2<?А}А3. |
|
||||
Подстаол |
юда ЛАиз (30) к а из (40), получаем |
|
|
||||
|
|
|
1п =1™ = 0, |
|
|
|
|
|
I33 = 2(А| - |
1)Й1 + 4(Л3 - |
1 )кг + 2<х0+ |
|
|||
|
+ ЪяЦчИ + 2\/Аа<го - 2у^Аз(1 + А§)Л| - |
4 \/А ^ 3). |
(41) |
||||
Относительное изменение объема п этой задаче |
|
|
|||||
|
|
щ |
= ^ |
=А>Аз = |
|
|
|
|
= 1 + щ |
(М » < Ь - |
1) + *а(2А| - I - |
А»)). |
|
||
Отметим в заключение, что решение (41) и случае несжимаемого материала (о = 0) в точности совпадает с известным [12].
4.2.Большие деформации и псртикилъном тяжелом цилиндре
Бесконечно длинный полы И цилиндр из несжимаемого материа ла, внешни» поверхность которого г = Ь жестко закреплена, а вну тренняя г = а свободна от напряжении, нагружен массовыми силами (Риде — силами перегрузки, параллельными вертикальной оси ци линдра г. Здесь ц* — ускорение свободного падения, п — степень перегрузки, р° — плотность материала о иодеформированной кон фигурации. О цилиндрической системе координат положение точек тела и начальном состоянии определяется радиусом-вектором
V = ГЩ + 203, I <Э1 1=1 02 1=1 «Я |= 1-
Лекторы основного базиса запишутся о виде
Г1 = о )( та = гоа, 1’а = сз,
где учтено, что д щ /д р = «а. Отсюда получаем конариапгиые и кошравариантиые составляющие метрического тензора ц
Зп = 0эа = 1, |
- г* V11 =9**= I, !722 “ 1/г* (42) |
ц векторы взаимного базиса
V1 = 01, |
Г3 = С3/Г, |
Г3 = 0.3. |
Определитель матрицы коварпаиниях компонент метрического тен зора § = г*.
13 деформированной конфигурации в цилиндрической системе координат положение точек тола определяется радиусом-вектором
П.= Ло1 + Я с а. |
(43) |
Так как цилиндр находится о обобщенном плоском деформированном состоянии, то
Я = Я(г) = г + и(г), |
Я = * + и»(г), |
(44) |
и векторы основного базиса записываются и пидс
Н-1 = Я^О| + м/еэ, |
И] = Лея, |
П-з = оз, |
определяющем следующие копарнантлыс составляющие метриче ского тензора в деформированной конфигурации:
С „ = ( « У + (»')», |
0 ,2 = 1 ? , |
||
С7за = 1, |
С о |
= и»'. |
(45) |
Определитель О = <7цС?гг<?зз - |
Смб&Оэх = |
(Я'Я)2. Используя |
|
за висимостI» |
|
|
|
о*) - |
1 .Л И . |
|
|
|
0 9 0 1 / |
|
|
получаем контраварлаитпые составляющие тензора О:
с " = |
1 |
_1_ |
|
0 » = |
Я 2 '
^ - (Л Г + К У 8 Г ,3 |
|
« |
(46) |
||
(Л')2 |
’ |
_ |
(ДО2 |
||
|
|||||
п полностью определенные тензоры О* = С,у1-,1^ н С ,_ 1 = С'* |
. |
||||
Теперь можно записать главные инварианты тензора С 1: |
|
||||
/,(с * ) = ,/^С ц = ( « у |
+ („/)’ + |
( $ ) ’ + ., |
|
||
Ы О ‘ ) = ы с ч м |
е " 1) = |
°9<}С‘>= |
|
||
Для решения задачи используем функционал (18), учитывая, что поверхностные силы отсутствуют и для несжимаемого материала о = 0. Будем полагать также, что обобщенные модули упру гости — константы. Отсюда вытекает, что XI = 0. Поэтому (18) принимает шщ
(48)
Этот функционал зависит от трех функций — <г, Я н ш к их произ водиих
Урани к и я м и Эйлера для него будут
с естественными граничными условиями
д р \ 1 |
л |
д Р |
п |
0 Р \ |
(60) |
|
д<т'\1г = . , . = |
• |
|
г= 0 |
’ |
» Й '1г= а |
|
Ы |
- 0 |
|||||
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
• |
и = |
°> |
« 1г=» = |
5- |
(51) |
Из (48) имеем |
|
|
|
»/• |
|
|
|
ё |
= (ь -.)г, |
. |
|
||
|
до1 = 0 |
|
||||
и из первого уравнения (49) получаем /3 —1 = 0. Подставляя сюда выражение для 73 (*47), приходим к дифференциальному уравнению
|
(Я'Л)а = г3, |
|
решениями которого будут |
|
|
Л = г , |
11= \/2М - га. |
(И ) |
Здесь уже учтено второе |
граничное условие (51). |
Второе реше |
ние (52) соответствует цилиндру, вывернутому наизнанку, что для поставленной задачи нереализуемо. Поэтому
|
Л = г, |
|
(53) |
||
т.е. н(г) = 0 в (44). |
|
|
|
|
|
Из (47) имеем |
|
|
|
|
|
|
% |
|
= 0 |
(54) |
|
ди> |
О ш ' |
|
|||
|
|
||||
Найдем производные д \Л г / д ш т и д \ У |
/дик |
|
|||
ЛТУ= ОУ/ ьи |
|
дН |
|
||
Ош1 01% 0и/ |
+ |
012 |
|
||
и с учетом выражений (47), (53), (7з), (10) получаем |
|
||||
д\У |
|
|
|
(55) |
|
дш* = 2(*| |
-Нтг)и/. |
||||
|
|||||
Осуществляя аналогичные действия, имеем |
|
дУ/ |
(5 0 ) |
О, |
|
дш |
|
С учетом (54) —(56), получаем из (48) следующее выражение для второго уравнении (40):
2 ^ * , +Л 2)гш') = -^ °П 5о»к* |
|
Отсюда, с учетом второго условия (50), |
|
2(*Ч 4- **)ги/ = “ ^/>°пдо(г2 - а2). |
(57) |
Решением уравнении (67), принимая по ишшанис период гранями условие (51), будет
|
р°пдо |
(Ь2 - г 2 |
3 |
|
(58) |
||
• ■ ч |
* н |
- ы « 1 - |
Ч |
) |
|||
|
|||||||
Из (47), с учетом (63), имеем |
|
|
|
|
|
||
|
0 /э |
2 |
д!з |
|
|
(59) |
|
|
д п ~ 7 ’ |
д № ~ |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
НаИдсм производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 0 & |
&и О Ц ' 0 !г |
|
|
|||
ОН' ~ ей он>+ ей онг |
|
|
|||||
Сучетом выражении (73), (10), (47), (63), получаем |
|
/<№ = 0. Осу |
|||||
ществляя аналогичные действия, приходим к выражению |
|||||||
|
ОН ~ М* г |
|
|
|
|||
или, учитывая (57), |
|
|
|
|
|
|
|
Л Ж _ 2Аа / |
А # о |
|
|
|
|||
ОН |
г ^4 (1 ,+ * * ) |
г ) |
|
|
|||