С учетом (50), (60), получаем та (48) выражение для третьего урав нения (49):
, Ь ( Р°”9а |
г * - о 2Л 2 |
. . |
г ^4(Л]Ц+ + «^2) |
г ) |
(в1) |
Решением (81) при третьем граничном условии (50) будет
Используя соотношения (9а), (Ю), определим составляющие тензора
ис т и н н ы х напряжении в базисее(С у . Учитывая выражения (42), (45)—
(47),(53), получаем
Т= 2о(<м + и/е3)(сц + к/сз)+
+ 2 и/(Л1 + Х-2 - (г)((с| + 1и'с3)ез + «3(01 4- ш 'ез))+
+ 2 (<7 + Ш,а !г2 )с2 е2 + 2^(7 - « #а(Дг1 + &2 ~ < г ) )й3 « 3 = ^ ’с*<5|.
Отсюда
111 |
= 2<г, 1 ,а = |
2( * | + ^ К |
йм = 2 (сг+ ^ ) 1 |
|
I33 = |
2 {а + н ^;2(А-1 |
+ 1*2)^ , |
где ш1 н а |
определяются сосутношениями (57) и (52) соответствен |
||
но. Пренебрегая, как это обычно делается для малых деформации, квадратами перемещений и их производных, получаем нэ соотноше ния (61)
|
о4 = —и/7 = 0, |
о — С |
|
||
|
г |
|
а = |
|
|
п из третьего граничного условия (50) |
0. С учетом этого для |
||||
малых деформаций напряжения будут равны |
|
|
|||
= ,« |
= *» = о. |
,13 |
А Ы » ’* “ |
а*) |
|
|
|
2г |
|
||
|
|
|
|
|
|
. "О (53), (58), |
|
|
|
|
|
п |
Р®Л9о / Р - Г * |
„ Г |
) |
||
[ = 0, |
у} = - ---- |
|
|
|
|
|
2 |
а |
|
|
|
Фто решение полностью совпадает с приведенным » [14].
•1.3. Больш ие д-еформтции полоН сф еры
Рассмотрим задачу о деформации полон сферы из несжимаемо го материала, нагруженном внешним н внутренним давлениями. В недсформпропан ном состоянии п сферической системе координат
г = г нш0 соа \р\ 4 г аш 0 зш |
|
4 г со$0к, |
||||||||||
1*| = 5Н1 0СОвр1 4 51Н05Пк#1 4СО3 0к, |
||||||||||||
|
1* 2 = |
- Г 5111 |
|
|
+ |
Г 81Н ^С 05 ^ , |
|
|||||
'а = |
Г СОЯ0 СОЯ |
+ Г СО? 08111 <р} - |
ГМП 0к, |
|||||||||
Т.€. Г = ГГ1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц. 1=1, |
|га |= 181110, |
21 |
I 1-3 1=1-. |
|||||||||
511=1. |
.522 = г ^ т Ч |
|
5зз = у |
91} = 0 (11ф}), |
||||||||
»“ = 1, |
|
|
1 |
|
|
лзз _ ^ |
|
дЧ = |
0 (| з4 » , |
|||
Я ” = |
У2 5111* 0 ' |
|
9 |
- |
р». |
|
||||||
ЯгтИеш^О, |
|
|
|
Г2 |
|
0*1 |
ГЗ |
(63) |
||||
|
|
|
г |
’ |
00 |
г |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 деформировали |
м состоянии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Я |
= |
|
4 и (г))г| = |
Л(г)г1 |
= |
А (г)ггь |
||||||
Я , |
|
= ( У г + А)гь |
|
|
|
|
|
га = |
Аг2. |
|||
|
|
|
Яз = |
—Га = Дгз| |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
О и |
= (А'г “|- А)л, |
|
С?2 2 = |
А*г*81н^ 0} |
||||||||
|
|
Оэя = (Аг)а, |
С0 |
= 0 ( < / ; ) , |
|
|||||||
/711 |
— |
* |
|
|
г а |
г ________ * |
|
|||||
|
|
“ (А'г + А)5 ’ |
|
° |
_ |
А1 г, »|ц2 0 ’ |
||||||
|
|
|
(Аг)»’ |
а » |
= о (1 * л , |
|
||||||
С = (А')' + А)г(Аг)'1 ып2 0,
I, = (А'г + А)1 + 2 А*, 1г = \ л + 2Аа(А'г + А)2,
/л = (Л'г + А)2А<.
При выводе соотношений (64) использовались выражения (63).
Фуикцноиал (18) для нашей задачи принимает шгд
где а и 6 — недеформнрованные внутренний и онсшннй радиусы сферы соответственно, ра, р*, иа, и* — давлении и радиальные пе ремещения па поверхностях с этими радиусами. Подынтегральное выражение в (65) зависит от г, а, А, А'. Поэтому полна» вариация функционала (05) запишется п виде
Здесь учтено, что и = гА - г, к поэтому |
|
6ил =а$Ла| |
= |
Определим теперь давления ра н р |
отнесенные к недеформнро- |
ванным поверхностям сферы* через давления / в и /*, действующие
вконечном состоянии. Как известно [12],
-/ вN.</5 = - > /й /в ^ г • пс/в|
где N и п — единичные внешние нормали к текущей «Ю н началь ной новерхностл тела, а V — оператор Гамильтона в текущей
конфигурации. 1Ь этих соотношении заключаем, так ках па = - 1^ II П» = Г |, что
Рп = |
\Л з Л^пИ-Ч1г=а , |
Р» = |
Iг—I , |
|
||
и, с учетом выражении (63), (64), |
|
|
|
|||
|
|
Ра = |
/« Л21'1| |
1 4 = |
-Л * |Г |, |
|
Поэтому и уравнении (66) |
|
|
|
|||
|
|
Ра — /а^л? |
РЬ ~ |
/ ^ 4 |
|
|
и, в силу независимости парна ни*1 6а и ЛА, приходам к ураииемн |
||||||
|
ОР |
> |
( д Р \ - п |
(68) |
||
|
с*т |
|
|
|
||
и граничным условным |
|
|
|
|
||
ОР |
|
|
|
ОР |
|
(69) |
ОХ' |
г= 6 |
+ ЛА?*э = 0, |
о х | |
+ / вА^ 3 = 0, |
||
в которых Р определяется соотношением (67). Из первого уравне ния (68) получаем
/ , - 1 = 0 => (А'г + А)Аа = 1 =*• А = 1(г* - С)'**, |
(ТО) |
где С — нроиэволы|до постоянней. Далее
в р _ ( ы |
т а ь \ |
„ |
ох ~ \ ох |
ои ох ей ох) |
г • |
IIлII с учетом ( 7 з ) , ( 1 0 )
ОР
ох = { ь ж + к' ж +<*-к'
Нэ (64) имеем
^ = *Х (А3 + А(А'г + А) + (А'г + А)3) ,
ж=2А' г+бА>
^ = 2 А 3(Л'г+Л)(2А'г + ЭА), Сгл
или, с учетом второю уравнения (70),
М, |
1 + » »* |
|
ЭЬ |
А* + А3 н 1 |
|
дГ3 |
да (-2 |
Ж |
А» ' |
1д \ ~ |
X3 |
' Ж ~ 2~Т ~ |
|||
Тогда (71) принимает вид |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(1 - Л*)(1 - А)^ |
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
- 2 1 - , ^ |
(А*(1 + А3) - (1 + А)) + |
т 1 )- |
||||
|
т |
- |
................... — |
|
|||
|
ж = ( * * ж + н т + {° ~ * 1" 2* * > ж ) л |
||||||
Из (64) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
ЭД __ 9>и , |
п |
2г |
01^ _ |
|
ЭДэ _ |
а |
|
— - _ 2 ( А г + А ) г - д#, |
в А ' - 4 ' |
|
Л А ' _ |
2 А ' |
|||
С учетом этих выражения, (73) запишется о пиле
(72)
(73)
^ = 2 г3 ( * ,1 1 ^ + 2Ь(1 - А») + <гА3) |
(74) |
Принимая по внимание (72), (74), торос уравнение (68) приводив* к следующему:
|г' = 2*, (*э - 1)2 |
+ 2*3 |
(Л 3 - |
1)а |
рб) |
|||
гЛ6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
При том полагалось, что А] = |
сопя1, к% = |
соив1 н учитывались |
|||||
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
А'г + А = 2 ^ |
А'г = |
1 - Л 3 |
|
|
|
||
Аа ’ |
|
|
А* |
|
|
|
|
вытекающие из второго соотношения (70). Из (75) имеем
- , Л А 3 - 0 а |
(А3 - ! ) 1 |