в, замечая,, что (см. третье уравнение (76))
1—Аа А2 г
получаем окончательное выражение для уравнения (75)
1 - |
Л3 |
1 - |
Л3 |
|
А* = 2 к |
1 |
+ 2Аа |
, |
|
откуда |
|
|
|
|
, 4А3 —1 |
, 1 + 2А3 . „ |
(77) |
||
‘г = А,-5йй— |
1’- д5 - + с '- |
|||
^юничиые условии (69) записываются, с учетом (74),(77), в виде
1ч(4Аа - 7Х1. + |
р ) |
- 2/Ь8(2А» + 2А’ |
- |
1 ) + 2С,А* + /„ А] = О, |
Ь|(4Ак - 7X1 + 4 |
) - |
2*,(2Л? + 7X1 ~ |
0 |
+ 2С )Л | + Л>» = 0. (78) |
Из этой системы нужно определить константы С и С|» входящие
о третье выражение (70) и и (77). Для величины С\ |
это сделать |
|
просто. Из первого уравнения (78) получаем |
|
|
|
|
(79) |
Тогда второе уравнение (78) |
|
|
/ . - / . = - 1 , ( 1 - ^ |
+ ^ - ^ ) + |
|
+ ЗДз ^ 2А* —2Ла - |
р> + ^ |
(80) |
должно служить определению величины С . Не будем заниматься решением этого целинеЛлого уравнения, а отметим только» что со отношение (80) связывает давления и перемещения (А = 1 + и/г) на поверхностях сферы.
Конкретизируем сейчас выражение (80) для материалов, удовле творяющих законам нео-Гука и Джоша — Томаса. В мерном случае упругий потепцклл
1У = <71(/1- а ) = С3(Л + /3 ~ 4).
Отсюда
и соотношение (80) предстатипястся и пиле
л -л --а (5 -^ + ^ -ч )-
Переходя к задаче о сферической полости и бесконечном простран
стве [Ь -» оо, ^ = Пт (1 + и/г) = 1 ), из последнею выражения
Т—• оо
легко найти давление /<И| которое надо приложить па бесконечно сти, чтобы на поверхности полости получить заданную величину Хй при /в = 0:
Это решение полностью соответствует прпоеденпому в (24].
Для закона Джепта — Томаса упругий потенциал
К = |
- |
3) + Сг 1п - | |
= С1(/1 + /з - 4) + Сг 1 п ?/з— ■ |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н' = & ( / , - 3 ) + С , 1п у , |
||||
к |
- |
Ш |
- Г |
. |
ЭЙ' |
С2 |
Аа |
*2 |
= —=г- |
|
= С? |
||||
Ь - - Щ |
- С и |
^3 |
|||||
|
|
|
|
|
д ь |
2 + А6' |
|
где учзены соотношения (64) к |
второе (70). |
Таким образом, Дг^ ф |
|||||
Ф солаС, что необходимо учесть при дифференцировании выраже ния (74) ио г при формировании второго уравнения (68). В тоге
вместо (75) получаем ооотпош
</сг = 2б ,, ^ ^ - й А +
+ 2<?гА (2 + Т ф ((2 + А») - 4(1 - Аг)(1 + А3)) 4А, решением которого после довольно громоздкого интегрирования бу-
- т ( ,пШг + 1!Й +^ арс4 ) +С1’ (81)
Граничные уело оня (60) записываются, принимая во внимание соот ношения (74), (80), и виде
С ,(4 А .- 2 А 3+ ^ ) -
-^ А* ( |,И2Й5 + ?Г " е,в^ |) +
+2 С , а 2 + / „ а2 = о,
С »(4А ,-2А * + Х ^ -
- б’Аф п2 ^ +?Г а1С‘еЙ ) +
+ 2С ,А } + Л А | = 0. |
(82) |
Переделяя С1 из первого соотношения и подставляя его во второе,
Случаем
4 |
4 . 1 |
I |
2\/2 |
2у/2 |
А3 |
|
|
1) |
+ Т агс1* ^ - — агс14Т1
У
Для сферической полости в бесконечном пространстве (Ь -* оо, А* -+ —• I) при заданном А„ » / а = 0 имеем
- Т ('" « Т л { + : |
( “ « я ' |
я ) ) ' |
Велм последнем соотношении учесть, что [3) |
||
Л1 С1Б л = ~ - |
агс1д ~ , |
х > О, |
и ввести обозначение 1ан- 1 = а!с1б| то оно полностью совпадает с решением, приведенным и [24].
При малих деформациях третье соотношение (70) аппроксими руется двумя членами ряда по С:
|
А = (1 —С/г3) 1^3 и 1 . |
С |
|
|
|
|
" |
Зт3' |
|
|
|
|
АС |
|
Тогда |
|
|
Зг3’ |
|
|
|
1 |
АС |
|
1 = , + .2 . |
1 - 1 + 2 2 |
|||
А |
^ З г 3’ |
А*“ + ЗгЗ' |
А-1 ~ |
1 + Зг3 |
н соотношение (79) принимает вид |
|
|
||
в д " |
|
СЛ |
1 |
1 |
1‘ ( * + 5 р ) + г1 ’ ( |
|
|
||
Из второго уравнепин (78) получаем
3(Л - !.)
4С{1/аа - 1/г?)'
(83)
(И )
(85)
(88)
Здесь учтем , что 2(Ич -Н*г) = С. Подставляя соотношения (83)—(86) а (77), имеем
. а У .-Д » Д
(8Г)
2(6» -и » )
Подставлял (83), (84) и (81), (82), снова получаем выражения (86), (87).
Из соотношении (9з), (Ю) определяем тензор истинных напряжспиП
Т = 2 ((,« -С")*1 +
+ ( V * - г’У 'О *, - 2С »)Ь + аС «) П.П.,. |
(8») |
Здесь уже учтено, что /3 = 1 . Из выражений (04), принимая во внимание (83), (84), получаем
а, = й = (1+ ^ ) Г5’ |
Пг=(1_& ) гг’ |
1 1 3 = ( ' “ |
з ? » ) 1-31 |
а / . 2СЛ
Сх\ = г2 (
Зг3) '
и _ 1 + Ж / З т *
81Па 0
« - - М - § ) ■
Л = / 3 =3 , |
/з = 1 . |
Тогда из соотношении (88) с учетом (89) определяем физические составляющие (отнесенные к ортонормированием/ базису) тензора истинных напряжений