Здесь учтено, что 2(А*|+Аз) = С . Оставляя и выражениях (90) только линейные относительно С члены к учитывая соотношения (80), (87), получаем окончательно
,11 _ да( / * - / л |
н |
- |
и |
ъ |
(1 - ^ ) г а |
|
I —р3 ' |
||
,22 = ,33 _ ° 3 ( Л - |
/ а ) |
_ |
А |
~~ /я Р 3 |
2(1 - |
|
|
1 - р 3 ‘ |
|
Из выражения г + и = гА получаем
и = гА —г = г(А - 1) = - Зг*’
нлн с учетом (80)
и = л и - и ) |
(92) |
|
4С г*(1 -р*)' |
||
|
О выражениях (91), (92) р - а/Ь, и они полностью совпадают для случая несжимаемого материала (г = 0, 5) с решением, приведенным п(16].
5.Численная реализация упругой задачи
5.1.Система разрешающих уравнений
Реализация функционала (31т) предполагает, за редким исклю ченкем, его численное решение. Б качестве такового будем использо вать метод конечных элементов (МКЭ), предполагающий разбиение области, в которой отыскивается решение, на элементы к аппрок симацию решения п каждом элементе полиномом заданной степени, коэ<|к|)ициеиты которого подлежат определению. Другими слова ми, решение отыскивается на классе финиш ых функций, носители
радиационное уравнение (93) (с учетом (ЮЗ)) принимает для эле-
<«> |
<•> |
|
мента /о с границей 5 “ онд |
||
( / м |
(2*МК * |
+ Щ,ш м пмк) - ? К Г * п ) Л ’ - |
|
Г |
<еК |
|
- у м Р р^ с Г 5 р" ) « < = 0 , |
|
или, В силу произвольности Ли*,
/ Й |
+ Д&»***"1) - / ^ * ) М - |
Варьируя функционал (31г) по // и используя для Н аппрокси мацию И = ь получаем, и силу произвольности 6IIм , уравне ние
|
[ы ГП((/з - 1) - а<х<РмНм ) 4>н <1У0= 0, |
(105) |
|
* |
|
где т = а^1 - |
+ *3) ) . |
|
Суммируя выражения (104), (105) но всем элементам, получаем полную раэрешакш(ую систему для функционала (31 з). Заметим, что о этоИ системе интегралы по общей между элементами границе пропадут я силу третьего закона Ньютона к непрерывности пс]>смеЩС11КЙ на ней и останутся только по поверхности тела. Полная систе ма и общем случае нелинейная, так как р 1' зависит явным образом от и к //, а рР к /д от и. Зависимость р* от и связана с приведением усилия Рр, заданного п текущей конфигурации, к педеформирошшкк>В поверхности: ______
где — составляющие единичного лекюра и, нормального к педсформиропаниоИ поверхности 5^, записанные в базисе г{. Рр пред ставлено в базисе ту. Можно сразу решать полученную исдияеНпую систему. Однако здесь возникает опасность пропустит!» точ ки бифуркация решения. Позтому, следуя [17], запишем вырпжсння (104),(105) для элемента я приращениях.
Пусть
и“ Ь = й т -Н т , Л Л' = / ? Л' + > Л |
|
Л? = /Г '* Д ', Рр = Рр + 5Р |
(107) |
Причем считаем величиям 4Ш и 4м малыми н ива/фитамн их будем пренебрегать. Как говорилось выше,
а1) = <>‘>{и*1к, Нм ).
Подставим сюда выражения для аргументов (107) и осуществим раз ложение н ряд по ^АГ* и , Д удерживая только линсИиыс члены,
|
|
|
IIм) = У> + 5[’ике и + * > > /“ |
(108) |
|
В (108) поедены следующие обозначения: |
|
||||
|
|
|
ё ‘>= |
IIм ), |
|
ц |
_ 9оУ I |
|
до** |
(109) |
|
° .( и ‘ |
~ |
|
= |
ЧМ,к. |
|
|
^Мк-пМ~^ |
|
|||
|
|
|{И1_1,М=0 |
|
||
Учитывая, чгорР = |
и осуществляя аналогичные действия |
||||
для выражения (106), получаем |
|
|
|||
|
|
|
^ = р Ч - Й + |
|
(40) |
|
|
й = |
П|П; Р * , |
$ 3 = ^ //3<5^П,П, в * , |
|
|
|
|
|
+ У ). |
( Ш ) |
|
|
|
2 у /зй ’^п |л^ |
|
|