Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

W (ξ) =W [y1 (x), y2

(x)]

x=ξ

y1′

y2′

x=ξ

sh ξ

sh (ξ−1)

= sh ξch (ξ−1) −ch ξsh (ξ−1) = sh1.

ch ξ

ch (ξ−1)

Отсюда согласно (14.6) с учетом p(x) ≡1 запишем

sh x sh (ξ−1)

0 ≤ x ≤ ξ;

G(x, ξ) =

sh1

sh ξ sh (x −

ξ≤ x ≤1.

sh1

Пример 14.3. Установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если существует, то построить ее

y′′+ y = 0;		(14.9)
	= y(π) = 0.
y(0)

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для однородной краевой задачи (14.9). Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение имеет решение

y(x) =C1 cos x +C2 sin x .

Краевые условия дают два соотношения для определения коэффициентов C1 и C2 :

y(0) = C1 cos 0 +C2 sin 0 = C1 = 0;y(π) = C1 cos π +C2 sin π = −C1 = 0,

или

C1 = 0;

−C1 = 0,

откуда C1 =0 , C2 произвольно. Последняя система уравнений имеет бесконечное множество решений, и решение краевой задачи

(14.9) имеет вид y(x) =C2 sin x .

Таким образом, для данной краевой задачи функции Грина не существует.

Краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка

′′	′	(x) y(x) = 0	(14.10)
y (x) + p1	(x) y (x) + p2
и неоднородных краевых условий
y(a) = A , y(b) = B			(14.11)

сводится к рассмотренной краевой задаче (14.3), (14.2) следующим образом:

1) дифференциальное уравнение (14.10) приводится к виду

(14.3) путем умножения (14.10) на функцию p(x) = e ∫p1 ( x) dx , при этом в качестве q(x) следует брать p(x) p2 (x) ;

2) краевые условия (14.11) сводятся к однородным краевым условиям (14.2) линейной заменой исходной функции

z(x) = y(x) − Bb −−aA (x −a) − A .

При такой замене линейность уравнения (14.10) не нарушается, но в отличие от уравнения (14.3), теперь получается неоднородное дифференциальное уравнение

L(z) ≡

+ q z = f (x)

(14.12)

где

f (x) = −

A +

B − A

− a) q(x) −

B − A

p(x) p (x) .

b −a

b − a

При этом функция Грина строится для однородной краевой задачи

L(z) = 0;

z(a) = z(b) = 0,

которая полностью совпадает с краевой задачей (14.3), (14.2). Пример 14.4. Установить, существует ли функция Грина для

данной краевой задачи, и если существует, то построить ее

x2 y′′+ xy′− n2 y = 0, n > 0;

y(0) конечно, y(1) = 0.

Решение. Запишем данную краевую задачу в следующем виде

y′′+

y′−

y = 0;

(14.13)

= A,

y(1) = 0.

(14.14)

y(0)

Здесь

a = 0 , b =1, B = 0

p (x) =

(x) = −

p(x) = e

∫ p1 ( x) dx

= e

∫

= e

ln x

= x .

Умножая обе части уравнения (14.13) на x, получаем

xy′′+

y′−

y = 0 .

Делаем замену функции z(x) = y(x) + Ax − A . Тогда

z(0) = y(0) − A = A − A =0 ,

z(1) = y(1) + A − A =0 .

Записав y(x) = z(x) − Ax + A,

′

− A , y

′′

y (x) = z (x)

(x) = z (x) , полу-

чаем

′′

′

+ (z

− A) − x (z − Ax

+ A) = 0 ,

или

xz′′+ z′

z =

A − n

An2

−

Итак, получили краевую задачу

xz′′+ z

′−

z =

f (x);

z(1) = 0,

z(0) = 0,

где f (x) = A − n2 A + Anx 2 .

Выясним, существует ли функция Грина для соответствующей однородной краевой задачи

	2	z	′′	+ xz	′	− n	2	z = 0;	(14.15)
x
z(0) = 0,						z(1) = 0.			(14.16)

Полученное дифференциальное уравнение 2-го порядка (14.15) является уравнением Эйлера и имеет решение

z(x) = C1 xn + Cxn2 .

Первое краевое условие (14.16) дает C2 = 0 , так как в противном случае z(x) →∞ при x → 0 . Второе краевое условие (14.16) дает C1 =0 . Краевая задача (14.15), (14.16) имеет только нулевое решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна. Согласно 1-му методу запишем формально G(x, ξ) в виде

a xn +			a2		, 0 < x ≤ ξ;
			xn
	1				(14.17)
G(x, ξ) =		b2
b xn +					, ξ≤ x ≤1.

	1		x	n

Из непрерывности G(x, ξ) при x =ξ (свойство 1) получаем a1ξn + ξa2n = b1ξn + ξb2n .

Скачок Gx′(x, ξ) в точке ( x =ξ ) (свойство 2) равен ξ12 , поэтому

b nξn−1

−

nb2

−

a nξn−1

−

na2

n+1

Получаем систему уравнений

ξn +

= b ξn +

;

nb2

na2

b nξn−1

−

− a nξn−1 −

n+1

или

−a )ξn +

− a

) = 0;

−a )nξn−1 −

− a

)

n+1

Полагая c1 =b1 −a1 ,

= b2 −a2 , получаем

сξn

= 0;

(14.18)

c nξn−1 −c

n+1

Вычислим главный определитель

и вспомогательные определи-

тели c и

c системы уравнений (14.18). Имеем

ξn

= − n

− n = − 2n

nξn−1

−

ξn+1

с =

ξn

= −

ξn+2

−

ξ2

ξn

= ξn−2 ,

nξn−1

ξ2

откуда по формулам Крамера

c =

= −

ξn−1

(14.19)

2nξn+1

Теперь используем свойство 4 функции Грина, согласно которому G(x, ξ) должна удовлетворять кравевым условиям (14.16):

G(0, ξ) = 0 , G(1, ξ) = 0 . Указанные условия принимают вид

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "