Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 5. Собственные значения и собственные функции

Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма 2-го рода

y(x) −λ ∫b	K (x, t) y(t) dt = 0 .	(5.1)
a

Отметим, что уравнение (5.1) всегда имеет очевидное решение y(x) ≡ 0 , которое называется нулевым (тривиальным) решением.

Значения числового параметра λ, при которых это уравнение имеет ненулевые решения y(x) 0, называются характеристическими

числами (величина μ = λ1 называется собственным значением)

уравнения (5.1) или ядра K (x, t) . Каждое ненулевое решение этого уравнения называется собственной функцией, соответствующей характеристическому числу λ (собственному значению μ).

Подчеркнем, что число λ = 0 не является характеристическим числом, так как при λ = 0 из уравнения (5.1) следует, что y(x) ≡ 0 .

Если ядро K (x, t) однородного интегрального уравнения Фред-

гольма 2-го рода (5.1) является вырожденным, то задача о нахождении собственных значений и собственных функций интегрального уравнения сводится к поиску собственных значений некоторой матрицы. В самом деле, как следует из формул (4.2), (4.3), (4.6), (4.7) (здесь f (x) = 0 ), всякое решение однородного интегрального

уравнения (5.1) имеет вид

n
y(x) = λ ∑ ck pk (x) ,	(5.2)

k =1

где неизвестные числа ck являются решением однородной системы уравнений

n
ck −λ ∑ akici	= 0	(k = 1, 2, …, n).	(5.3)
i=1
Система (5.3) может быть записана в матричной форме
(I −λA)C = 0	или	(A −μI)C = 0 ,	(5.4)

где λ, μ ≠ 0 ; μ = λ1 ; I = (δij )nn – единичная матрица порядка n;

A = (aij )nn – квадратная матрица порядка n; С – матрица-столбец,

состоящая из чисел ci ( i =1, n ); 0 – нулевая матрица-столбец.

Таким образом, собственные значения однородного интегрального уравнения (5.1) совпадают с отличными от нуля собственными значениями матрицы A и могут быть найдены из характеристического уравнения

det (A −μI) = 0 .

(5.5)

Отметим, что если исходное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода является неоднородным

y(x) −λ ∫b	K (x, t) y(t) dt = f (x)
a

и имеет вырожденное ядро K (x, t) , то его решение можно свести к

решению системы линейных алгебраических уравнений (4.7), которая может быть записана в матричной форме

(I −λA)C = B ,

(5.6)

где B – матрица-столбец, состоящая из чисел bi ( i =1, n ).

Пример 5.1. Найти собственные значения и собственные функции интегрального уравнения

y(x) −λ ∫π	(cos2 x cos 2t +cos3x cos3 t) y(t) dt = 0 .
0
Решение. Ядро
K (x, t) = cos2 x cos 2t +cos 3x cos3 t
является вырожденным. Здесь
p (x) = cos2 x ,	q (t) =cos 2t ,	p (x) = cos3x , q		(t) = cos3 t .
1	1	2	2
По формулам (4.6) найдем элементы матрицы A:
a11 = ∫π	p1 (t) q1 (t) dt = ∫π	cos2 t cos 2t dt =	π ,
0	0		4

	a12 = ∫π	p2 (t) q1 (t) dt = ∫π		cos3t cos 2t dt = 0,
	0		0
a21 = ∫π	p1 (t) q2 (t) dt = ∫π		cos2 t cos3 t dt = ∫π		cos5 t dt = 0 ,
0		0		0
a22 = ∫π		p2 (t) q2 (t) dt = ∫π		cos3t cos3 t dt = π .
	0		0		8

Характеристическое уравнение (5.5) для нахождения собственных значений имеет вид

π −μ

det (A −μI) =

= 0 ,

−μ

откуда

Получаем

собственные значения

−μ

−μ = 0 .

μ =

(соответственно характеристические числа λ =

λ2 = π8 ).

1.При μ1 = π4 система уравнений (5.4) принимает вид

			0		0				с			,
						π				1	= 0	,
				0	−			с2
				0	−	8		с2
						8
откуда c2 = 0 , c1 произвольно.							Собственная функция, соответст-
вующая собственному значению								μ = π ,				находится по формуле
									1		4
(5.2). Именно,											4
(5.2). Именно,
y(x) =λ c p (x) + λ c p										(x) = λ c cos2				x =
1			1	1		1	2		2			1	1
=	4	c cos2			x = C cos2						x ,	C ≠ 0 .
=		c cos2			x = C cos2						x ,	C ≠ 0 .
	π		1				1						1

2. При μ2 = π8 система уравнений (5.4) принимает вид

= 0

с2

откуда c1 =0 , c2 произвольно.

Собственная функция, соответст-

вующая собственному значению

μ2

= π

, находится по формуле

(5.2). Именно,

y(x) =λ2c1 p1 (x) +λ2c2 p2 (x) = λ2c2 cos3x =

c cos3x = C

cos3x ,

≠ 0 .

π 2

Пример 5.2. При различных значениях параметра λ исследовать решения интегрального уравнения

y(x) =λ ∫π	cos (x +t) y(t) dt +1.
0

Решение. Данное интегральное уравнение Фредгольма является неоднородным. Запишем его в следующем виде

y(x) =λ ∫π	(cos x cos t −sin x sin t) y(t) dt +1.
0
Ядро K (x, t) = cos x cost −sin x sin t является вырожденным. Здесь

p1 (x) =cos x , q1 (t) =cost , p2				(x) = −sin x , q2 (t) =sin t . По формулам
(4.6) найдем элементы матрицы A и матрицы-столбца B:
a11 = ∫π		p1 (t) q1 (t) dt = ∫π			cos2 t dt = ∫π		1+ cos 2t		dt =	π ,

	0			0		0		2		2
a12 = ∫π	p2	(t) q1 (t) dt = −∫π		sin t cost dt = −∫π				sin t d (sin t) = 0 ,
0			0			0
	a21 = ∫π		p1 (t) q2 (t) dt = ∫π			cos t sin t dt = 0 ,
		0			0

a22 = ∫π	p2 (t) q2 (t) dt = −∫π		sin2 t dt = −∫π		1 −cos 2t		dt = −	π	,
								2
0		0		0		2
b1 = ∫π		q1 (t) f (t) dt = ∫π		cos t 1 dt = ∫π		cost dt = 0 ,
	0		0	0
b2 = ∫π		q2 (t) f (t) dt = ∫π		sin t 1 dt = ∫π		sin t dt = 2 .
	0		0	0

Характеристическое уравнение для определения характеристических чисел вытекает из (5.4) и имеет вид

1 −λ

det (I −λA) =

= 0 ,

1+ λ

откуда

−λ

=0 .

Получаем характеристические числа

1 + λ

λ = −

, λ

. Система уравнений (5.6) принимает вид

−λ

+λ

с2

1. При

λ ≠ ±

система уравнений имеет единственное решение

=0 ,

c =

1 +λ

В этом случае решение исходного интегрального уравнения согласно формуле (4.4) имеет вид

y(x) = λc p (x) + λc p				(x) + f (x) = −	2λ		sin x +1 =
y(x) = λc p (x) + λc p			2	(x) + f (x) = −		π	sin x +1 =
1	1	2	2	1	+λ
				1	+λ
						2

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "