Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

1.8. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, со-

стоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, два станка работают в течение месяца. Событие А — поломка первого станка, произошедшая в течение этого месяца. Событие B — поломка второго станка, произошедшая в указанное время. Событие А+В—поломка хотя бы одного станка: или первого станка, или второго станка, или двух станков вместе.

В частности, если два события А и В—несовместные, то

А+В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении следующих собы-

тий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема сложения вероятностей несовместных собы-

тий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A)+P(B).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1+A2+...+An) =P(A1)+P(A2)+...+P(An).

Пример 16. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

16

P(A)=10/30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P(B)=5/30.

События А и В несовместны (появление одного шара исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P(A+B)=P(A)+P(B)=1/3+1/6=1/2.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( A )=1.

Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают q . Таким образом, в силу предыдущей теоремы

р+q=1.

Пример 17. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность

q=1-р=1-0,7 = 0,3.

17

1.9. Принцип практической невозможности маловероятных событий

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, то есть близка к нулю. Длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий «принцип практической невозможности мало-

вероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01 называют однопроцентным; уровень значимости, 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи.

18

1.10. Теорема умножения вероятностей. Произведение событий

Произведением двух событий А и В называют событие А

В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А—станок исправный, В—токарь вышел на работу, то АВ—на станке производится работа. Произ-

ведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С—появление «орла» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «орла» во всех трех испытаниях.

1.11. Условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если никаких других ограничений не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, связанные с другими случайными событиями, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Если интересует вероятность извлечения из колоды карт туза при условии, что уже до этого был извлечен один туз, то речь идет об условной вероятности.

Условной вероятностью РА (В) называют вероятность события В, вычисленную при условии, что событие А уже наступило.

Условная вероятность события В при условии, что событие A уже наступило, по определению, равна

РА(В) = Р(АВ)/Р(А).

19

1.12. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: A и В; пусть вероятности Р (А) и РА (В) известны.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)РА(В).

Следует отметить, что справедливо равенство

Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились. В частности, для трех событий

Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 18. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Р е ш е н и е . Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р(А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испыта-

20