Материал: УМК МЖГ стр 1-76 Модуль 1-3_МЖГ

МОДУЛЬ 3

ГИДРОСТАТИКА ЖИДКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ

Гидростатика – раздел гидромеханики, изучающий равновесие жидкости. Различают абсолютное равновесие жидкости, когда из массовых сил действует только сила тяжести, и относительное равновесие, когда на жидкость, кроме сил тяжести, действуют инерционные силы. В этом слу- чае объем жидкости может двигаться не деформируясь, то есть как абсо- лютно твердое тело, в то время как движение частиц жидкости друг отно- сительно друга отсутствует.

Здесь мы рассмотрим только гидростатику несжимаемой жидкости.

СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

36

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)

Связь между массовыми силами и давлениями в жидкости, устанав- ливается уравнениями гидростатики, для получения которых необходимо в дифференциальном уравнении движения жидкости в напряжениях (2.3) приравнять нулю производную по времени:

В покоящейся жидкости касательные напряжения равны нулю и вы- полняется условие:

τху = τxz = τyz = 0 .

Пологая d υ = 0 и приравнивая равенство нулю касательных напря- dt

жений уравнение гидростатики можно записать:

знак минус появился при переходе от напряжений к давлению.

Используя понятие градиента скалярной функции р, это уравнение можно представить в виде соотношения:

r × F = grad p ,

представляющее уравнение равновесия жидкости в векторной форме (уравнение Эйлера). Оно справедливо как для абсолютного, так и для от- носительного равновесия жидкости.

Из уравнения Эйлера следует, что векторное поле напряжений мас- совых сил F при равновесии не может быть произвольным. Уравнения равновесия налагают некоторые ограничения на характер массовых сил, способных создать равновесие жидкости. Для этого применим к нему дифференциальную операцию rot, считая r = const,

rot r × F = r × rot F = rot (grad p) .

Как известно вихрь потенциального течения равен нулю, то есть: rot (grad p) = 0 .

Тогда rot (F ) = 0 .

37

Из векторного анализа известно, что в этом случае F есть потенци- альный вектор, то есть поле напряжений массовых сил в этом случае обла- дает потенциалом U:

F = grad U .

Таким образом, равновесие несжимаемой жидкости возможно только в случае действия на нее потенциальных массовых сил.

Запишем уравнение Эйлера, где массовую силу выразим через про- екции на координатные оси и умножим каждое слагаемое соответственно на dx, dy, dz:

В этом уравнении выражение в скобках представляет собой полный

2. ПОВЕРХНОСТИ РАВНОГО ДАВЛЕНИЯ

Поверхностью равного давления называется поверхность, давление во всех точках которой одинаково, р = const следовательно дифференци- альное уравнение поверхности равного давления имеет вид:

Чтобы получить уравнение поверхности равного давления для жид- кости, находящейся в равновесии, подставим условие (3.2) в дифференци- альное уравнение равновесия жидкости (3.1). Так как плотность не может быть равна нулю:

Для конкретных случаев уравнение поверхности равного давления можно получить путем интегрирования этого уравнения с учетом дейст- вующих массовых сил.

1. Жидкость находится в покое в резервуаре (рис. 3.1). Массовой си- лой, действующей на частицы жидкости, в данном случае является только сила тяжести Fт. Проекции единичной результирующей массовых сил на координатные оси Fx = 0, Fy = 0, Fz = −g . Подставляя эти значения в урав-

38

нение (3.3), получаем дифференциальное уравнение поверхности равного давления в покоящейся жидкости:

Это уравнение горизонтальной плоско- сти, отстоящей на расстоянии z от начала ко- ординат. Следовательно, в покоящейся жид- кости любая горизонтальная плоскость явля-

ется поверхностью равного давления. 2. Жидкость находится в равновесии в

сосуде, движущемся горизонтально с посто- янным ускорением а (рис. 3.2).

Массовыми силами, действующими на частички жидкости являются силы инерции Fи = m × a (направлены в сторону, противоположную направ- лению ускорения) и сила тяжести Fт. Проекции единичной результирующей массовых сил на координатные оси Fx = -a , Fy = 0, Fz = -g . Подставляя эти

значения в уравнение (3.3), получаем дифференциальное уравнение поверх- ности равного давления в жидкости, движущейся равноускоренно:

-a × dx - g × dz = 0 .

В результате интегрирова- ния получаем:

a × x + g × z = const .

Это уравнение наклонной плоскости. Угол наклона плоско-

сти β = arctg (a / g ) . Следователь-

но, в жидкости, движущейся рав- ноускоренно, любая наклонная под углом β плоскость является поверхностью равного давления.

3. Жидкость находится в равновесии в цилиндрическом сосуде, вра- щающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 3.3). В этом случае массовыми силами, действующими на частички жидкости, являются центробежная сила инерции Fц = mω2r (направлена к центру вращения) и сила тяжести. Проекции единичной результирующей массовых сил на координатные оси Fx = ω2x, Fy = ω2y, Fz = -g . Подставляя

39

эти значения в уравнение (3.3), получаем дифференциальное уравнение поверхности равного давления в жидкости:

w2 × x × dx + w2 × y × dy - g × dz = 0 .

В результате интегрирования по-

Это уравнение параболоида вра- щения вокруг вертикальной оси. Следо- вательно, в жидкости, вращающейся с

постоянной угловой скоростью, поверхности равного давления представ- ляют семейство параболоидов вращения.

3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в сосуде, неподвижном относи- тельно Земли (рис.3.4).

Для рассматриваемого случая действующей на жидкость массовой силой является только сила тяжести.

Направив ось OZ вертикально вверх, получим Fx = 0, Fy = 0, Fz = −g , а подставив полученные величины в уравнение (3.1), получим:

dp = -r × g × dz ,

40