Материал: УМК МЖГ стр 1-76 Модуль 1-3_МЖГ
14.Как изменяется вязкость газов при изменении их давления?
15.Какими приборами определяют вязкость капельных жидкостей?
16.Как изменяется коэффициент поверхностного натяжения жидко- стей с изменением температуры?
17.Что такое давление насыщенных паров? Как оно зависит от тем- пературы?
18.Что такое кавитация?
ЛИТЕРАТУРА
1.Альтшуль А.Д., Кисилев П.Г. Гидравлика и аэродинамика. –
М.: Стройиздат, 1975. – 323 с.
2.Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учебник для вузов. – М.: Энерго-
атомиздат, 1984. – 640 с.
3.Примеры расчетов по гидравлике: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А.Д. Альтшуля. – М.: Стройиздат, 1977. – 256 с.
4.Чугаев Р.Р. Гидравлика. – Л.: Энергия, 1982. – 600 с.
5.Ботук Б.О. Гидравлика. – М.: Высш. шк., 1962. – 450 с.
6.Медведев В.Ф. Гидравлика и гидравлические машины: Учеб. по-
собие. – Мн.: Выш. шк., 1998. – 311 с.
7.Калицун В.И., Кедров В.С., Ласков Ю.М. Гидравлика, водоснаб- жение и канализация: Учеб. пособие для вузов. – 4- е изд., перераб. и доп. –
М.: Стройиздат, 2000. – 397 с.
26
МОДУЛЬ 2
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЖИДКОСТИ
СХЕМА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА
Тема занятия |
Тип занятия |
Вид (форма) |
Кол-во |
|
занятия |
часов |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
1. Классификация сил, действую- |
Изучение нового |
Лекция |
2 |
|
щих в жидкости |
материала |
|||
|
|
|||
2. Свойства напряжений поверх- |
Изучение нового |
|
|
|
ностных сил, действующих в жид- |
Лекция |
2 |
||
материала |
||||
кости |
|
|
||
|
|
|
||
3. Уравнение движения жидкости |
Изучение нового |
Лекция |
2 |
|
в напряжениях |
материала |
|||
|
|
1. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ЖИДКОСТИ
Поскольку жидкость обладает свойством текучести и легко дефор- мируется под действием минимальных сил, то в жидкости не могут дейст- вовать сосредоточенные силы, а возможно существование лишь сил рас- пределенных по объему (массе) или по поверхности. В связи с этим дейст- вующие на жидкости распределенные силы являются по отношению к жидкости внешними. По характеру действия силы можно разделить на две категории: массовые силы и поверхностные.
Массовые силы. Силы, действующие на каждую частицу жидкости с массой М = ρΔV, то есть силы, распределенные по массе, называются массовыми (объемными). К ним относятся: сила тяжести, силы инерции (кориолисова сила инерции, переносная сила инерции). К массовым силам
относятся также гравитационные силы, подчи- |
|
|
|
|
||
няющиеся закону всемирного тяготения Нью- |
|
|
|
F |
||
тона (силы притяжения Луны и Солнца при |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
рассмотрении водных |
масс морей и океанов |
|
|
A |
|
|
Земли). |
|
|
|
|
|
|
Массовые силы |
характеризуются плот- |
|
|
|
V |
|
M |
||||||
ностью распределения |
FA или напряжением |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
массовых сил. Если |
V – элементарный объем, |
Рис. 2.1. К понятию |
|
массовых сил |
|||
|
|
27
содержащий точку А (рис. 2.1), и DF – массовая сила, действующая на мас- су DМ = rDV жидкости в этом объеме, то в данной точке А плотность рас- пределения массовой силы при стягивании объема DV к точке А:
F = lim |
DF |
. |
(2.1) |
|
|||
V →0 rDV |
|
||
A |
|
|
|
Таким образом, плотность массовой силы представляет собой массо- вую силу, отнесенную к единице массы. Ее составляющие по осям коорди- нат будут соответственно Fx, Fy, Fz. Плотность массовых сил имеет раз- мерность ускорения (м/с2).
Определим вектор напряжения массовых сил в наиболее важном ча- стном случае действия силы тяжести.
Вес элементарной частицы: |
|
|
|
||||
|
|
|
DP = r × DV × g . |
|
|
|
|
При выборе направления оси Z вверх массовая сила: |
|
||||||
|
|
|
DF = -k × DP , |
|
|
|
|
где k – орт оси Z. |
|
|
|
|
|
|
|
На основании (2.1) получаем: |
|
|
|
||||
F = -k × |
DP |
= -k × |
r × DV × g |
= -k × g или F |
= 0; F |
= 0; F = -g . |
|
r × DV |
|
||||||
A |
|
r × DV |
x |
y |
z |
||
|
|
|
|
||||
Поверхностные силы. Силы, действующие на каждый элемент Dw поверхностей, ограничивающих жидкость, и на каждый элемент поверхно- стей, проведенных произвольно внутри жидкости, называются поверхно- стными. Поверхностные силы делятся на две группы: нормальные к по- верхности силы и касательные к поверхности. К нормальным поверхност- ным силам относится сила давления DР, к касательным поверхностным си- лам относится сила трения DТ.
Поверхностные силы, аналогично массовым силам, характеризуются
Δω
A
Р
Т
Рис. 2.2. К понятию поверхностных сил
плотностью распределения поверхностных сил или напряжением поверхностных сил. Различа-
ют нормальное напряжение в точке и касатель- ное напряжение в точке.
Рассмотрим объем жидкости, выделим в объеме элементарную поверхность площадью Dw и на- метим точку А (рис. 2.2). Пусть на выделенную поверхность действует нормальная сила DР и касательная сила DТ. Тогда, плотность распреде-
28
ления нормальных сил определится как pA |
= lim |
P |
– называется нор- |
|
Δω→0 |
Dw |
|
мальным напряжением в точке А. Плотность распределения касательных
сил tA |
= lim |
T |
– называется касательным напряжением в точке А. |
|
Δω→0 |
Dw |
|
Массовые и поверхностные силы могут быть внешними и внутрен- ними. Внешние силы действуют на рассматриваемую массу и поверхность жидкости извне и приложены соответственно к каждой частице жидкости, составляющей массу, и к каждому элементу поверхности, ограничивающей жидкость. Внутренние силы представляют собой силы взаимодействия частиц жидкости. Они являются парными, их сумма в данном объеме жид- кости всегда равна нулю.
Массовые силы, действующие в жидкости, влияют на гидродинамиче- ские реакции, возникающие на теле, через напряжения поверхностных сил.
2. СВОЙСТВА НАПРЯЖЕНИЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ЖИДКОСТИ
Для исследования напряжений поверхностных сил в жидкости уста- новим связь между напряжением, действующим на произвольно ориенти- рованную площадку и три другие взаимно перпендикулярные площадки, проходящие через данную точку.
Выделим в движущейся жидкости элементарную жидкую частицу в форме тетраэдра (рис. 2.3). Вместо поверхностных сил на гранях тетраэдра изобразим векторы напряжений, направленные произвольным образом к соответствующим граням. Ускорение центра тяжести частицы обозначим
d υ , напряжение массовых сил F . dt
Запишем уравнение движения этой частицы в векторной форме, ис- пользуя принцип Даламбера.
rDV × d υ = rDV × F + pn DSn - px DSx - py DS y - pz DSz , dt
где DSx, DSy, DSz – площади граней тетраэдра;
pn , px , py , pz – векторы напряжений поверхностных сил в центре
площадок, обозначения которых соответствуют направлениям нормалей к ним, знак минус перед последними членами означает, что нормали к соот- ветствующим площадкам направлены противоположно осям координат.
29
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
||||||
|
|
|
|
Sy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
r× dV × F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sz |
|
|
рz |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. Схема к выводу первого свойства напряжений поверхностных сил
Из аналитической геометрии известно, что:
|
|
S |
x = cos(n, x); |
|
|
S y |
|
= cos(n, y); |
|
S |
z |
= cos(n, z) : |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|||||
Разделим обе части полученного уравнения на |
Sn : |
|
|
|||||||||||||||||||||||
r |
DV |
× |
d u |
|
|
|
= |
|
|
- |
|
|
cos(n, x) - |
|
|
|
cos(n, y) - |
|
|
cos(n, z) |
||||||
- F |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
p |
p |
|
p |
|
p |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
x |
y |
z |
||||||||||||||||||||
|
DSn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы получить связь между напряжениями в точке, устремим объ- ем тетраэдра к нулю, стягивая его в точку к началу координат.
Очевидно, что lim |
V |
= 0 , с учетом чего связь между напряже- |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V →0 |
DSn |
|
|||||
ниями запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n = |
|
x cos(n, x) + |
|
y cos(n, y) + |
|
z cos(n, z) . |
(2.2) |
||||
|
p |
p |
p |
p |
|||||||||
Проектируя |
|
n на оси координат получим: |
|
||||||||||
p |
|
||||||||||||
p |
= p |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
cos(n, x) + p |
y x |
cos(n, y) + p |
z x |
cos(n, z) |
|||
n x |
|
|
|
|
|
|||
pn y |
|
|
|
|
|
|
|
|
= px y cos(n, x) + py y cos(n, y) + pz y cos(n, z) |
||||||||
p |
= p |
|
|
|
|
|
|
|
x z |
cos(n, x) + p |
y z |
cos(n, y) + p |
z z |
cos(n, z) |
|||
n z |
|
|
|
|
|
|||
Первый индекс при проекциях напряжений в этих соотношениях со- ответствует площадке, в которой действует данное напряжение, а второй – оси, на которую оно проецируется. Скалярные величины рхх, руу, pzz пред- ставляют нормальные напряжения, все остальные (рху, pxz, …) – касатель- ные напряжения, действующие в определенных площадках.
В дальнейшем касательные напряжения будем обозначать буквой τ:
рху = τху; рхz = τxz; …
30