Материал: УМК МЖГ стр 1-76 Модуль 1-3_МЖГ

Учитывая это, запишем:

Первое свойство: напряжения поверхностных сил, действующих по произвольной площадке в данной точки жидкости, зависят от девяти скалярных величин: трех нормальных напряжений (рхх, руу, pzz) и шести ка-

сательных (τху, τxz, τyz, τyx, τzx, τzy).

Такие величины в математике и механике носят название тензора, таким образом первое свойство напряжений поверхностных сил состоит в том, что эти напряжения образуют тензор напряжений.

рхх , τух , τzx

τxy , pyy , τzy − тензор напряжений.

τxz , τyz , pzz

На рис. 2.4 показаны нормальные и касательные напряжения, дейст- вующие на три взаимно перпендикулярные грани параллелепипеда, выде- ленные в жидкости.

x

Рис. 2.4. Схема действия нормальных и касательных напряжений

Применяя теорему моментов, взятых относительно начала координат для напряжений, действующие на грани параллелепипеда, можно доказать свойство взаимности касательных напряжений, в соответствии с которым:

τху = τ ух;τxz = τzx ;τyz = τzy .

Из этого следует, что вследствие взаимности число независимых ве- личин сокращается до шести.

31

Возникновение в жидкости касательных напряжений τху , τxz , τyz

вызвано одновременным влиянием двух факторов: движение жидкости и ее вязкости.

Если жидкость неподвижна, то касательные напряжения в ней отсут- ствуют, что характерно как для вязких, так и для невязких жидкостей.

В покоящейся жидкости:

τху = τxz = τyz = 0 ,

т.е. действуют только нормальные напряжения рxx , руу , pzz . Соответствующие векторы напряжений:

pn = n pnn ; px = i pxx ; py = j pyy ; pz = k pzz .

Подставляя эти выражения в уравнение 2.2, получим:

npn x = i px x cos(n, x) + j pyy cos(n, y) + k pz z cos(n, z) .

Известно, что:

n = i cos(n, x) + j cos(n, y) + k cos(n, z) .

Подставляя предыдущее выражение в левую часть:

Сравнивая в этом выражении коэффициенты при одинаковых ортах, найдем:

Эти равенства позволяют сформулировать теорему о свойстве нор- мальных напряжений:

Второе свойство: если в жидкости отсутствуют касательные на- пряжения, то нормальные напряжения в данной точке не зависят от ори- ентации площадки.

Рассмотрим одно из основных свойств жидкости, связанное с нор- мальными напряжениями.

Как видно из рис. 2.4, px x , pyy , pz z направлены в сторону внешней

нормали, то есть нормальные напряжения – растягивающие, которым при- писывается знак «+». Твердое тело одинаково воспринимает растягиваю- щие и сжимающие напряжения, не меняя свое состояние. В нем при этом не образуется разрывов сплошности.

Третье свойство: капельная жидкость способна воспринимать про- извольные сжимающие усилия (отрицательное нормальное напряжение) без разрыва сплошности. Однако жидкость практически терпит разрыв

32

при растяжении, то есть в ней могут провялятся лишь нормальные сжи-

мающиеся усилия.

Назовем давлением р в жидкости при отсутствии касательных на- пряжений величину нормального напряжения, взятую с обратным знаком, тогда, в соответствии с только что доказанной теоремой

р = − pnn = − руу = − рхх = − рzz ,

отсюда следует, что величина давления не зависит от ориентации площадки.

3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

Получим общее уравнение движения жидкости, устанавливающая связь между внешними и внутренними силами, действующими на нее.

d υ / dt :

r × dV d υ = r × dV × F + pn × dS dt

Просуммируем левую и правую часть уравнения. Суммирование первых двух членов сводится к интегрированию по объему, а третьего члена – по площади.

Согласно третьему закону Ньютона, поверхностные силы по всем внутренним площадкам взаимно уничтожатся, и останутся только поверх- ностные силы по площади S, ограничивающей объем V.

33

Преобразуем третий член уравнения, используя для этого ранее по- лученную зависимость:

pn = px cos(n, x) + py cos(n, y) + pz cos(n, z)

и получим:

Применим к правой части этого равенства известное преобразование Гаусса – Остроградского, устанавливающего связь между объемным и по- верхностным интегралами:

Подставляя правую часть в уравнение, получим:

Все члены в этом уравнении интегрируются по объему. Это уравне-

ние является уравнением движения жидкого объема в интегральной фор-

ме. Левая часть представляет главный вектор сил инерции, первый член правой части – главный вектор массовых сил, а второй – главный вектор

поверхностных сил.

Получим дифференциальную форму уравнения движения, более удобную для изучения движения жидкости. Объединим все члены уравне- ния под знаком интеграла, перенося силу инерции в правую часть.

Интеграл равен нулю, когда подинтегральная функция равна нулю:

В итоге получим дифференциальное уравнение движения жидкости в напряжениях:

которое связывает ускорение с напряжениями массовых и поверхностных сил в данной точке потока и справедливо как для вязкой, так и невязкой жидкости.

34

Проектируя векторное уравнение на оси координат, будем иметь:

Эта система уравнений служит для разработки гидростатики и гид- родинамики вязкой и невязкой жидкости.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие силы называются массовыми? Приведите примеры.

2.Что Вы понимаете под напряжением поверхностных сил?

3.Чему равно напряжение силы тяжести?

4.Какие силы называются поверхностными? Приведите примеры.

5.Какими напряжениями характеризуются поверхностные силы?

6.Сформулируйте первое свойство напряжений поверхностных сил.

7.Сформулируйте второе свойство напряжений поверхностных сил.

8.Сформулируйте третье свойство напряжений поверхностных сил.

9.В каких случаях в жидкости не действуют касательные напряжения?

10.Что такое давление?

11.Выведите уравнение движения жидкости в напряжениях.

ЛИТЕРАТУРА

1.Альтшуль А.Д., Кисилев П.Г. Гидравлика и аэродинамика. – М.: Стройиздат, 1975. – 323 с.

2.Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учебник для вузов. – М.: Энерго-

атомиздат, 1984. – 640 с.

3.Повх И.Л. Техническая гидродинамика. – Л.: Машиностроение,

1969. – 524 с.

4. Чугаев Р.Р. Гидравлика.– Л.: Энергия, 1982. – 600 с.

35