Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

1

2

1

2

cos d

e

sin

e

2

2

2

cos d

I .

e

2

2

I

Итак, для

нахождения

имеется дифференциальное

I

I 0

уравнение

I

и начальное условие

.

2

2

I

находим

e

4

.

Подставим полученный интеграл в

1

2

153 :

u x,

1

решение

x

4

d .

Воз-

f

e

2

x

2

u x, t

1

e

e

4t

d .

2

t

x y, 2

t y x, d 2 tdy.

4t

Имеем u x, t

1

t y xe y2 dy.

e 2

2. Выделяя полный квадрат в соотношении

y

2

2

t y x y

2

2

t y t t x y

t

2

t x,

имеем

u x, t

1

y t

2

1

y

t

2

e

e

t x

dy

e

t x

e

dy

1

y

t

2

y t

e

t x

e

t x

e

d

e

t x

.

Пример 2. Используя формулу Пуассона, найти решение

задачи Коши для уравнения теплопроводности.

u

3u ,

t

xx

2

6 x

u

e

4 x

.

t 0

u x, t

1

2

x 2

e 4

6 e

12t d .

2

3 t

x

y, 2

3t y x, d 2

3tdy.

12t

3t

2

6t 4 x 3

2

2

48t 1 2

2

3x

1

y

48t 1

4 x 3

48t 1

2 x

u x, t

e

dy

e

6t 4 x 3

2

2

3t

2

2

3x

48t 1 2

1

48t 1

2 x

48t 1

y

4 x 3

e

e

48t 1

dy

48t 1

6t 4 x 3

2

2

2 x

3x

2

2

48t 1

48t 1 2

3t

4 x 3

1

e

y

48t 1

e

48t 1dy

48t 1

6t 4 x 3

2

2

3x

2 x

2

48t 1

1

e

48t 1

3t

2

4 x 3

y

48t 1 2

48t

1

3t

e

d y

48t 1

2

4x 3

48t 1

6t 4 x 3

6t 4 x 3

2

2

2

2 x

3x

2

2 x

3x

2

2

48t 1

48t 1

1

e

e

.

48t

1

48t 1

функция

f1 x

не определена для отрицательных значений

аргумента. Доопределим функцию

f1 x

нечѐтным образом

x

2

u x, t

1

1

2

.

F e

4a

t

2a

t

x

Воспользовавшись нечѐтностью функции

F1