Материал: Волновое уравнение (96

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

∆G (M , M

) = ∆

+ v (M )

M0M

+ ∆v (M )

= −4πδ(M , M

= ∆

M0M

Поэтому

∆G (M , M

) = −4πδ

(M , M

M Ω,

(2.15)

= 0,

∑

M Ω,

∆v = 0,

(2.16)

= −

∑

rM0P

При таком выборе функции Грина, когда G (P, M0 ) = G

∑ = 0,

применение формулы (2.14) даст решение

u (M0 )

= −

w∫∫

u (P)

∂G (P, M0 )

dσP .

(2.17)

4π

∂n

∑

Подставив в (2.17) заданное значение искомого решения u (P)

на поверхности ∑,

получим решение задачи Дирихле:

u (M0 ) = −

w∫∫

F (P)

∂G (P, M0 )

dσP .

(2.18)

4π

∂n

∑

Здесь функция Грина определена как решение задачи (2.15).

2.8.Функция Грина в задаче Неймана

Вэтом случае получить функцию Грина так, чтобы выполня-

лось условие	∂G		= 0, не представляется возможным, так как для

	∂n		∑

		21

гармонической функции v (M ) получим		∂G			∂		1

				= −				и
		∂n		= −				и
		∂n			∂n r
			∑			M0M
			∑			M0M
w∫∫	∂v dσP ≠ 0, что противоречит свойству гармонических функ-
w∫∫	∂n
∑

ций из разд. 2.4. Поэтому функцию Грина для задачи Неймана следует искать из решения уравнения

∆G (M , M0 ) = −4πδ(M , M0 ), M Ω,
	∂G			4π
			= −		,

	∂n			S
		∑

где S – площадь поверхности ∑.

Решение задачи Неймана

∆u (M ) = 0,				M (x, y, z) Ω,
	∂u
	∂u		= g (P),	P ∑,
	∂n		= g (P),	P ∑,
		∑
		∑

запишется в виде u (M0 ) = 41π w∫∫∑ g (P)G (P, M0 )dσP .

2.9. Физический смысл функции Грина

Из определения функции Грина следует, что в каждой точке M0 Ω она удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Пуассона

∆G (M , M0 ) = −4πδ(M , M0 ), M Ω,

и обращается в нуль на границе области ∑ в случае задачи Дирихле. Поэтому функцию Грина можно интерпретировать как кулонов потенциал, порождаемый внутри заземленной поверхности ∑ единичным зарядом, находящимся в точке M0 Ω.

Приведем примеры решения краевой задачи Дирихле с помощью функции Грина для полупространства и шара. Для других областей функция Грина может быть получена методом отраже-

ний [1, 5].

2.10. Примеры построения функции Грина для различных областей

1. Задача Дирихле для полупространства. Постановка крае-

вой задачи имеет вид

∆u ( x, y, z) = 0,			−∞ < x, y < +∞,
	u ( x, y, 0) = F	(x, y),
	u ( x, y, 0) = F	(x, y),	z > 0.

В этой задаче поверхность ∑ представляет собой плоскость z = 0, которую можно считать замкнутой в бесконечности. Для

нахождения функции Грина введем точку M0* (x0 , y0 , − z0 ), со-

пряженную точке M0 ( x0 , y0 , z0 ), т. е. точки M0* и M0 будут симметричны относительно плоскости z = 0.

В качестве гармонической функции в пространстве z > 0 возь-

мем функцию v (x,

y, z) = −

, а функцию Грина возьмем в

виде

M0M

∆G (M , M0 ) =

−

rM0M

rM0*M

где r

( x − x

)2 +( y − y

+( z − z

)2 ;

M0M

r *

( x − x0 )2 +( y − y0 )2

+( z + z0 )2 .

M0M

При этом G

∑ = G

z=0 = 0 . Найдем

∂G

на поверхности ∑:

∂n

∂G

2z0

∂n

∑ = ∂z

z=0 = −

((x − x0 )2 +( y − y0 )2 + z02 )3 2

Тогда решение задачи Дирихле для полупространства

u (x , y , z		0	) =	z0	+∞+∞	F (x, y)dx dy	.

0	0			2π−∞∫ −∞∫ ((x − x0 )2 +( y − y0 )2 + z02 )3 2

Интеграл в правой части этой формулы носит название инте-

грала Пуассона для полупространства.

2. Задача Дирихле для шара. Постановка краевой задачи имеет вид

∆u

(M ) = 0,

M ( x, y, z) Ω ,

∑ = F (P),

P( x, y, z) ∑R ,

где ΩR – шар радиуса R с центром в начале координат;

∑R – по-

верхность этого шара.

Введем точку M0* вне шара,

сопряженную точке M0 внутри

шара,

такую,

что

r r*

= R2

(рис. 3),

где r =

+ y2 + z2

;

0 0

r* = x*2

+ y*2

+ z*2

;

= ( x − x

)2 +( y − y

)2 +

( z − z

;

M0M

r *

= (x − x0* )2 +

(y − y0* )2 +

(z − z0* )2 .

M0M

Рис. 3

Совместим точку M ( x, y, z) с точкой P(x, y, z) ∑R (рис. 4).

Рис. 4

Из условия

r r* = R2

и подобия

треугольников ∆OPM

0 0

∆OPM0*

следует r

rM0P . В качестве функции Грина рас-

смотрим функцию

∆G (M , M0 ) =

−

rM0M

r0 rM0*M

где G

∑

= G (P, M

) = 0,

а v (M ) = −

rM0*M

Найдем ∂G

∂G . Для этого введем некоторые обозначения и

∂n

∂r

rM0M

воспользуемся

теоремой

косинусов

для

нахождения

rM0*M :

OM = r = x2 + y2 + z2 , OM

= r = x2 + y2

+ z2 , M

OM = ϕ,

Источник: https://studfile.net/preview/16724467/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога