Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y		-3	/4
=			/4	y		-5/
	x			y		-5/	3
				=	x		3
					x
0			x	0			x	0

Рис. 33

Рис. 34

y=x

-
2/
	3

Рис. 35

2. Показательная функция y	ax ( a 0 ). Она принимает положительные значения
при всех значениях x . Если a 1, то y	1. При x 0 показательная функция обращается в 1,

так как a0 1 . В случае a 1 показательная функция при неограниченном убывании аргумента неограниченно приближается к нулю, а при неограниченном возрастании аргумента функция неограниченно возрастает (рис. 36). Если же 0 a 1, то показательная функция при неограниченном возрастании аргумента неограниченно приближается к нулю, а при неограниченном убывании неограниченно возрастает (рис. 37).

a>1

		x
		a
	1	=
	1	y
		y
	0	x

y = ax

0<a<1

				Рис. 36	Рис. 37
3.	Логарифмическая функция y				loga x ( a 0 , a	1). Она определена при					x 0 .
Функции	y a	x	и	x loga y взаимно обратны друг другу,		ибо y a	loga y	и	loga a	x	x . По-

этому график логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой y x .

y					y
		a>1				0<a<1
				g x
			o a
			l
		=
		y
0	1			x	0 1		x
						y
						=
						l
						o
							g
							a x
					Рис. 38		Рис. 39
Если	a 1, то логарифмическая функция возрастает, причем при неограниченном воз-

растании аргумента она неограниченно возрастает, а при неограниченном его приближении к нулю она неограниченно убывает (рис. 38). Если же 0 a 1, то логарифмическая функция возрастает, причем при неограниченном возрастании аргумента она неограниченно убывает, а при неограниченном его приближении к нулю она неограниченно возрастает (рис. 39). При

любом a	0 , a 1, имеет место равенство loga 1 0 .
4.	Основные тригонометрические функции y sin x , y cos x , y tg x , y ctg x .

Они связаны между собой соотношениями

	sin2 x	cos2 x 1, tg x		sin x	,	ctg x	cos x	.

				cos x			sin x
Функции	y sin x , y cos x		определены на всей числовой оси и являются периодиче-
скими с основным периодом T		2	. При этом функция y sin x (рис. 40) является нечетной,
а функция y	cos x (рис. 41) является четной.

Рис. 40

Рис. 41

Функция y tg x (рис. 42) не определена при x

n , где n Z . а функция

ctg x

(рис. 43) не определена при x

n , где n Z .При неограниченном приближении аргумента к

этим точкам значения функций неограниченно возрастают по модулю. Функции

tg x ,

y ctg x являются периодическими с основным периодом T

, а также нечетными.

Рис. 42

Рис. 43

5. Обратные тригонометрические функции. Так как они являются обратными для основных тригонометрических функций, то их графики симметричны относительно прямой y x графикам, изображенным на рис. 40-43. Обратные тригонометрические функции явля-

ются многозначными и обозначаются Arcsin x , Arccos x ,

Arctg x , Arcctg x .

Однозначная функция y

arcsin x (рис. 44) определена на отрезке x

1, 1

и имеет об-

ласть значений y

2 , 2 . Функция монотонно возрастает и является нечетной.

Однозначная функция y

arc cos x (рис. 45) определена на отрезке x

1, 1

и имеет об-

ласть значений y

0, . Функция монотонно убывает.

Рис. 44

Рис. 45

Однозначная функция		y arctg x (рис. 46) определена на всей числовой оси и имеет об-
ласть значений y	2,	2 . Функция монотонно возрастает и является нечетной.

Рис. 46

Однозначная функция y arcctg x (рис. 47) определена на всей числовой оси и имеет область значений y 0, . Функция монотонно убывает.

Рис. 47

Графики соответствующих многозначных функций изображены на рис. 44-47 штриховыми линиями.

Функции, которые можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также их суперпозицией, называются элементарными. В множестве элементарных функций выделяются следующие классы.

1. Многочлены (полиномы) – функции вида

P x an xn a1x a0 .

Если an 0 , то целое неотрицательное число n называется степенью многочлена P x .

Функция, тождественно равная нулю, является в силу данного определения многочленом, ей не приписывается никакой степени. Многочлены определены на всей числовой оси.

2. Рациональные функции – функции, представимые в виде	f x	P x	, где P x	и
		Q x

Q x - многочлены ( Q x - ненулевой многочлен). Функция f x	определена во всех точках

числовой оси, кроме тех точек, в которых знаменатель Q x обращается в ноль.

3. Иррациональные функции, т.е. такие функции, не являющиеся рациональными, которые могут быть заданы композицией конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий. Например,

функция

3 x

3 иррациональная.

4. Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся рациональными

или иррациональными. Например, функция f

x sin x

log2 2x

трансцендентная.

Если известен график функции

x ,

то с его помощью легко получить графики

следующих функций:

1) график функции

получается сжатием графика f

вдоль оси x в

a раз (при a

1) или растяжением в

раз (при a

1);

2) график функции y

- зеркальным отображением относительно оси y ;

3) график функции

- переносом параллельно оси

на

единиц вправо,

если b

0 , и влево, если b

0 ;

4) график функции y

- растяжением вдоль оси y

в k

раз (при k

1) или

сжатием в

раз (при

1);

5) график функции y

- зеркальным отображением относительно оси x ;

6) график функции y

- переносом параллельно оси y

на

единиц вверх, если

0 , и вниз, если l

0 ;

7) график функции y

- зеркальным отображением относительно оси x

участков

графика y

, на которых ординаты отрицательны;

8) график функции

- зеркальным отображением относительно прямой x

участка графика функции y

при x

b .

Пример 1. Построить графики следующих функций:

а)

log2

; б) y log2

; в) y

2 log2

;

г)

; д)

log2

x 3

Решение.

а) График функции y

log2

получается из графика y

log2 x сдвигом на три еди-

ницы вправо (рис. 48,а).

б)

График

функции

log2

log2 4

получается

сжатием

графика

log2

вдоль оси x

в 4 раза (центр сжатия – прямая x

3 ), этот график также можно

получить

сдвигом

графика

log2

на

две

единицы

вверх,

так

как

log2 4

log2

(рис. 48,б).

в) График функции

2 log2 x

получается из графика

log2

растяжением

вдоль оси y

в два раза (рис. 48,в).

г) При построении графика функции

log2

участок кривой

log2

3 ,

расположенный ниже оси x , отображается симметрично относительно этой оси (рис. 48,г).

д) График функции

log2

составляют две кривые:

log2 x 3

и симметрич-

ная ей относительно прямой x

3 (рис. 48,д).

Источник: https://studfile.net/preview/16566008/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"