Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теорема 5.

Если

lim xn

и начиная с некоторого номера

( xn

b ),

то

( a

b ).

Теорема 6 (теорема о трех последовательностях). Если

lim xn

a , lim yn

a и начиная

с некоторого номера выполняются неравенства xn zn

yn , то

lim zn

a .

Пример 3. Доказать, что последовательность

sin n

расходится.

Решение. Доказательство проведем методом от противного. Пусть

lim sin n

a . Тогда

lim sin n

a , откуда

lim

sin

sin n

0 .

(1)

Так как sin

sin n

2sin1cos

1 , то, учитывая равенство (1), получаем

lim cos

0 .

(2)

Из равенства

cos n

cos n cos1 sin n sin1

находим

sin n

cos n cos1

cos

1 .

sin1

Отсюда в силу (2) следует, что

lim sin n

0 . Таким образом, получаем

lim cos n

lim sin n

0 , что противоречит тождеству

cos2 n sin2 n

1 .

Следовательно, последовательность

sin n

расходится.

Пример

Найти

пределы:

а)

lim

10n

;

б)

lim

;

в)

lim

5 3n

;

г)

n cos n

lim

; д) lim

Решение.

а)

lim

10n

lim

, так как последовательность n

- бесконечно боль-

шая;

б)

lim

;

в)

lim

5 3n

lim

;

lim

г)

lim

;

lim 1

д)

Последовательность

cos n

ограничена,

бесконечно

малая,

так

как

lim

0 . Отсюда по теореме 2 следует, что произведение этих

lim

последовательностей является бесконечно малой, т.е.

lim

n cos n

0 .

n 1

2.4. Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы

	Пусть xn	- некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрас-
тающую последовательность целых положительных чисел k1, k2 , ,								kn , ( kn n ). Выберем
из	xn члены с номерами k1, k2 , , kn , :
			xk	, xk	2	, , xk	, .
			1		2		n
Полученная числовая последовательность						xkn называется подпоследовательностью после-
довательности		xn .
	Теорема 1. Если lim xn		a , то любая подпоследовательность					xkn сходится к a при
		n
n	.
	Определение 1. Число a		называется предельной точкой (или частичным пределом) по-

следовательности xn , если из последовательности xn можно выделить подпоследователь-

ность xkn , сходящуюся к a .

Сравните с определением 6 из п. 1.7.

Можно и по другому сформулировать определение предельной точки.

Определение 2. Число a	называется предельной точкой последовательности xn , если
в любой -окрестности точки	a содержится бесконечно много членов последовательности
xn .

На языке последовательностей теорема 1 из п. 1.6. формулируется так.

Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из теоремы 1 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Из теоремы 2 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Определение 3. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности xn , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательно-

сти и обозначается

lim xn

lim xn .

Очевидно, если xn

сходится, то lim xn

lim xn

lim xn . Если последовательность

не ограничена сверху (снизу), то полагают

lim xn

Пример 1. Доказать расходимость последовательности

1 n .

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности x2k

x2k 1

1 ( k

1, 2, ). Очевидно, что lim x2k 1,

lim x2k 1

1. Таким образом, по-

следовательность

1 n имеет две предельные точки:

1 и

1, а поэтому не может

быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Пример 2. Найти все предельные точки последовательности			sin n	, верхний и ниж-
ний пределы этой последовательности.
Решение. Каждое из чисел 0 , sin1 ,	sin 2 , ,	sin 89 ,	1 встречается в последо-
вательности бесконечно много раз, поскольку	n, k N :	sin n sin	360 k	n	. Поэтому ка-
ждое указанное число является предельной точкой последовательности sin n					. Других пре-

дельных точек последовательность не имеет, так как если число a не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки a , не содержащая ни одного члена последо-

вательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является

1, а наибольшей 1,

т.е.

sin n

lim sin n

lim

2.5 Фундаментальные последовательности.

Критерий Коши

Определение

Последовательность

называется

фундаментальной,

если

N такое, что

N и

N выполняется неравенство

Это определение эквивалентно следующему.

Определение

Последовательность

называется

фундаментальной,

если

N такое, что

N и

N выполняется неравенство

Геометрически это означает, что если последовательность

фундаментальна,

то

N такое, что расстояние между любыми двумя членами последовательности с номе-

рами, бóльшими, чем N , меньше .

Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо

и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Пример 1. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn ,

где x

sin k

k 2

Решение. В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность

фундаментальная. Для этого оценим

xn xn

. Имеем

sin k

k 2

1 k 2

k n

Так как

, то

k 2

k n 1 k 2

n 1 2

n 2 2

n p 2

n n 1

n 1 n 2

n p 1 n p

n n p n

Поэтому

n, p

N имеем

(*)

Зададим теперь произвольное

0 и положим

. Тогда

N выполняется нера-

венство n

откуда 1 n

. Следовательно,

N и

N , используя нера-

венство (*), получаем

xn p

1 n . Это доказывает фундаментальность последователь-

ности

, а значит и ее сходимость.

Пример 2.

Пользуясь критерием Коши,

доказать

расходимость последовательности

, где

Решение. В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность xn

не

является фундаментальной. Для этого оценим

. Имеем

n p

xn xn p

k n 1

В частности, при p n получаем

1		p	n, p N .


	k	n p
	k	n p

x2n

n .

(*)

Возьмем

2 . Тогда

N, p

N такие,

что

. В самом деле,

в силу

неравенства (*)

достаточно взять любое n

N и

n . Это доказывает, что последователь-

ность

не является фундаментальной, а, следовательно, она расходящаяся.

2.6. Задачи

Группа А

1. Доказать, что

lim an

a (указать N

1) an

3n 2

, a

;

2) an

4n 1

, a 2 ;

3) an

7n 4

, a

;

4) an

2n 5

, a

;

5) an

, a 7 ;

6) an

4n2

;

3n2

7) an

;

8) an

, a 2 ;

2n3

9) an

2n2

;

10) an

5 .

4n2

2. Доказать ограниченность или неограниченность последовательностей xn .

1 n

;

2) x

2n ;

3) x

ln n ;

sin n ;

1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ;

6) x

1 n n

;

9) x

n ;

10)

3. Установить, являются ли последовательности

бесконечно большими, бесконеч-

но малыми или не являются ни бесконечно большими, ни бесконечно малыми.

k 0 ;

1 n n ;

1 n

0, 999n ;

1 n ;

;

2n3

2 n ;

1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ;

log2

log2 n

;

10)

4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

1)	lim	3	n 2	3	n 2
			n 2		n 2
	n	3		3
3)	lim	1	n 4	1	n 4
			n 3		n 3
	n	1		1

;	2)	lim	3	n 4	2	n 4
				n 4		n 4
		n	1		1
;	4)	lim	6	n 2	6	n 2
				n 2		n 2
		n	6		1

;

lim

n 1 3

n 1 2

;

lim

n 1 3

n 2

;

n 1 3

n 4 3

n 5 3

lim

n 3 3

n 4

;

8) lim

n 1 4

n 1

;

n 3 4

n 4 4

n 1 3

lim

n 6 3

n 1

;

10)

lim

n 10 2

3n 1

2n 3 2

n 4 2

n 6 3

n 1 3

5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

3 125n3

lim

;

lim

;

5 n

n 2

6n3

lim

n 2

;

lim

;

4 4n 4

3 n4

4n6

3 n

3 27n3

9n2

lim

4n 1

;

lim

;

3 n5

4 9n8

4 n

3 n3

lim

n 3

;

lim

n 1

3 n5

4 n4

5 n5

4 n 1

lim

4n2 4 n3

;

10) lim

n 2

3 n6

1 5n

2 n

Группа Б

Для каждой из последовательностей

найти все предельные точки, lim xn ,

inf

xn .

lim xn , sup xn

1)	xn			2		1 n			;					2)	xn
1)	xn	2				1 n			;					2)	xn
		2				1 n
3)	xn			arcsin				1 n				;		4)	xn
3)	xn			arcsin			2					;		4)	xn
							2
5)	xn	1			n sin			n		;				6)	xn
5)	xn	1			n sin		2			;				6)	xn
							2
7)			n		1		2			n			;	8)
	xn					cos									xn
	xn			n		cos		4							xn
				n				4
9)	xn	2				1 n				1				;
9)	xn				2						n			;
					2						n

cos

;

sin

3 ;

1 n

;

cos

;

10) xn

cos

2 n

Для каждой из последовательностей

найти все предельные точки, lim xn ,

inf

xn .

lim xn , sup xn

cos

;

1 n 1

;

1 n 1

3 1 n n 1

2 ;

4) x

cos

;

6) x

1 n

n sin

;

Источник: https://studfile.net/preview/16566008/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"