Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

7)

x

 

 

 

 

 

 

 

1 n

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

sin

 

 

 

n

;

 

 

 

 

 

 

8)

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

sin2

 

 

 

 

 

n

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

x

 

n

1

 

2

 

1 n n

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

 

x

 

 

 

 

 

cos

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n5

8

 

 

 

 

n

 

 

n n2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

2) lim

3

 

 

 

n

2 2

 

 

3

 

 

n

1 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

1 n

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

4)

 

lim n 3 5

 

 

 

8n3

 

 

 

 

 

2n

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n3

 

 

3 n 2 n6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

; 6)

 

 

lim 3 n

3 n n

1

 

 

 

 

 

;

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

5

 

n4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n6

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

3 5

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

 

3 n3

3

 

 

 

 

7)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n5

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n4

1

 

 

 

 

n2

5

 

 

 

 

 

9)

lim n

 

3 4

 

 

 

 

n3

 

 

 

;

 

 

 

 

 

10)

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 

 

 

lim

 

 

n2

 

 

 

6n 5 3n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

3n2

 

 

 

 

 

6n 7

 

 

 

 

 

n 1

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

5n 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

4n2

 

 

 

4n 1 1 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

2n2

 

 

 

 

 

2n 3

3n2 7

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4n2

 

 

2n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n2

 

 

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7n2

 

 

18n 15

 

 

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n2

 

 

 

21n 7

 

 

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

5)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

6)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7n2

 

 

11n 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n2

 

 

18n 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

2n2

 

 

7n 1

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

5n2

 

 

 

3n 1

 

n3

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n2

 

 

3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n2

 

 

 

 

 

3n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

2n2

 

 

5n 7 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) lim

 

 

 

 

 

3n2

 

 

 

 

 

 

4n 1

 

 

 

2n 5

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n2

 

 

5n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n2

 

 

 

 

 

2n 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Группа В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

 

 

2 4

 

2 8 2

2

2

;

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

lim

 

3 n2 sin n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

1

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

22

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

lim

 

 

 

12

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 1 2

 

;

 

 

 

6)

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n 1

 

 

3n 1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

lim

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

1

;

8)

 

 

 

lim

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 n 1 n

 

;

n2

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

9)

lim

1

 

 

 

 

 

a

 

a2

 

 

an

 

a

 

 

 

1,

 

b

 

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

b

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

lim

 

12

 

 

22

 

 

 

n

1

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n3

 

n3

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Для последовательности

найти inf xn ,

sup xn , lim xn

и lim xn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x

 

 

1

 

;

 

 

 

2) x

 

 

n 2

1 n ;

3)

x

 

1 n n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

10,5

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

x

1

nsin

n

 

;

5)

x

n

 

 

1 n

;

6) x

 

n

1

cos

2n

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

n

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 n 1

 

 

n n 1

 

 

 

 

 

 

1 n 1 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

7)

x

3 1 n ;

8) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

x

 

 

 

 

1 n

1

 

 

1 n

;

10)

x

1

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

2

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Выполнить следующие задания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

Доказать, что последовательности xn

 

и

yn

, определяемые формулами

 

 

b ,

 

 

 

 

 

 

 

, y

 

xn

yn

 

имеют общий предел

 

 

lim y .

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

x y

n 1

lim x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

n

n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Пусть

xn

- последовательность чисел, определяемая следующей формулой

x

 

1

 

x

1

 

,

n

0, 1, 2, . Доказать, что

lim x

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

2

 

n

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Доказать,

что

последовательность

 

xn

,

где

 

xn

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1, 2, , сходится.

4)Доказать, что если p - натуральное число, то

x1 a ,

x0 0 ,

1

ln n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1p

 

2 p

n p

n

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n p

 

 

 

p 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

Доказать,

что если

 

y

n 1

 

y

n

,

 

lim y

 

 

и

существует

lim

xn 1

xn

,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

n

yn 1

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

xn

 

lim

xn 1

xn

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

yn

n

 

yn 1

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Доказать, что lim

n

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

xn 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) Доказать, что если

x

n

0 , то

lim

n x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

n

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

Доказать,

что

 

если

 

 

последовательность

xn

сходится

и

xn

0 ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n x x x

 

 

lim x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

2

n

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) Доказать, что если

lim xn

 

 

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x1

 

x2

 

xn

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

 

Пусть

 

числовая

 

 

последовательность

xn

удовлетворяет

условию

0

x

 

x

 

x

. Доказать, что

lim

xn

существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m n

 

m

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1. Определение числовой функции

Определение 1. Пусть X и Y – произвольные множества действительных чисел. Если

на множестве X задано отображение

f , при котором каждому x

X соответствует действи-

тельное число y Y , то говорят, что на множестве

X

определена действительная функция

y f x

действительной переменной x . Множество X

называется областью определения, а

множество Y - множеством значений числовой функции f x .

 

 

 

 

 

Определим арифметические операции над функциями.

 

 

 

 

 

Определение 2. Пусть функции

f и g определены на множестве X R . Суммой f

g

называют функцию, значение которой для каждого x

 

 

X равно сумме значений функций f

и

g для этого значения x :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

g

 

x

f

x

 

 

g

x .

 

 

 

 

 

Аналогично вводится понятие разности функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

g

 

x

f

x

 

 

 

g

x .

 

 

 

 

 

Произведением функций f и g называют такую функцию fg на множестве X , что

 

 

 

 

fg

x

f

x

g

 

 

x .

 

 

 

 

 

Если функция g задана на множестве

X

 

и не обращается на нем в нуль, то через

1

обозна-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

чают такую функцию на X , что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

g

x

 

 

 

 

 

 

Функцию

f

1

называют частным функций

f и

g и обозначают

f

. Таким образом,

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

f

 

 

x

f

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

g

x

 

 

 

 

 

 

Понятия суммы, разности, произведения и частного функций применяют и в том случае, когда данные функции имеют различную область определения. В этом случае их рассматривают на пересечении областей определения.

Пример 1. Пусть функция

f ставит в соответствие каждому числу x из

отрезка

4, 7 число x2

1, а функция g ставит в соответствие каждому числу x из отрезка

2, 10

число x3 . Найдем сумму этих функций.

 

 

Решение. Имеем 4, 7

2, 10

2, 7 . Функция f g ставит в соответствие каж-

дому числу x

2, 7 число x2 1

x3 .

 

 

Задать функцию - значит указать закон, по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение зависимой переменной из области значений функции.

Наиболее часто используются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Аналитический состоит в том, что с помощью формулы устанавливается алгоритм вычисления значения функции для каждого из значений аргумента x , областью определения функции в этом случае считается множество значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл.

Пример 2. Найти область определения функции

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f x

3x 6

 

7x

56

.

 

 

 

 

 

x2

3x

2

 

Решение. Это выражение имеет числовое

значение, если

3x 6 0 , 7x 56 0 и

x2 3x 2 0 . Иными словами,

для нахождения области определения надо исключить из R

корни уравнений 3x 6 0 ,

7x

56

0 и x2

3x 2

0 . Решая эти уравнения, получаем кор-

ни: -2, 8, 1, 2 и записываем область определения данной функции

 

x

, 2 2, 1 1, 2 2, 8 8,

.

В некоторых случаях функция задается на различных числовых множествах разными

выражениями, например

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x,

если x

0,

 

 

 

f

x

 

 

 

 

 

 

x2

1, если x 0,

 

или (функция Дирихле)

 

 

 

 

 

 

f

x

1, если x

рациональное число,

 

 

 

 

 

 

0, если x иррациональное число.

На практике часто удобным оказывается табличный способ задания функций, например, при экспериментальных измерениях, социологических опросах, при составлении отчетов банковской деятельности и т.д. На табличном способе задания, хранения и обработки информации основаны базы данных. В общем случае таблица имеет вид

x1

x2

x3

 

xn

f x1

f x2

f x3

 

f xn

Она позволяет находить значения функции для выбранных значений аргумента. Таким образом, таблица не задает функции, поскольку для задания функции надо знать ее значения для всех x X , а не только для некоторых. Существуют методы, позволяющие по такой таблице

подбирать выражение f x , разумеется, с определенной точностью.

При графическом способе соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика.

Определение 3. Графиком функции y

f x называется множество пар

x, y R R : x X , y f x .

Каждая пара x, y состоит из двух чисел,

а потому может быть изображена точкой M x, y

на координатной плоскости. Следовательно, график числовой функции может быть наглядно изображен множеством точек координатной плоскости. Это множество также принято назы-

вать графиком данной функции:

M x, y : x X , y f x .

Обычно графиком функции является некоторая линия. Однако, не всякое множество точек плоскости является графиком некоторой функции. Из определения функции следует, что

каждому значению x X соответствует только одно значение f x , а потому прямая, парал-

лельная оси ординат, может пересекать график функции не более чем в одной точке. Например, окружность не является графиком какой-либо функции, так как прямые, параллельные оси ординат, могут пересекать ее в двух точках; полуокружность на рис. 8, а является графи-

ком функции R2 x2 , а полуокружность на рис. 8, б – графиком функции

R2 x2 .

 

y

 

y

 

 

 

-R

 

R

-R

0

R x

0

x

 

а)

 

б)

 

 

 

 

Рис. 8

 

На практике строят не графики функций, а эскизы таких графиков. Для этого обычно составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют их линией. При этом предполагается, что график функции является достаточно плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. Если эти предположения не выполняются, то построенный график будет сильно отличаться от истинного.

Пример 3. Построим график функции

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0,1

 

 

 

Решение. Составляем таблицу значений функции для x

3, 4

с шагом 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

-3

-2

-1

 

0

 

1

 

2

3

4

 

 

f x

0,10

0,16

0,42

 

2,86

 

2,86

 

0,42

0,16

0,10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наносим полученные точки на плоскость и соединяем их плавной непрерывной линией. Получаем график, изображенный на рис. 9, а. Заметим, что этот график значительно отличается от истинного (рис. 9, б) в связи с большим значением шага таблицы.

y

10

8

y

6

4

4

 

3

 

 

 

2

2

 

 

1

 

 

 

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

а)

 

б)

 

 

 

Рис. 9

 

Не всякий график изображается непрерывной линией, например график функции

 

 

1, если x

0,

 

y sign x

0, если x

0,

 

 

1, если x

0

имеет один разрыв (рис. 10), а график функции y x

- целая часть числа x - имеет беско-

нечное число разрывов (рис. 11).

 

 

 
Источник: https://studfile.net/preview/16566008/

Смотрите также:

_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"