Документ: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н, страницы 36-40

y			y
1			2
			2

			1		1 2 3 x
			1
0	x	-2 -1 0
				-1
	-1				-2
					-2
		Рис. 10			Рис. 11

Встречаются функции, графики которых невозможно изобразить. Примером такой функции является функция Дирихле, определенная выше. Так как на сколь угодно малом отрезке числовой прямой имеются как рациональные, так и иррациональные точки, то график функции Дирихле не является линией. Он состоит из точек оси абсцисс с иррациональными абсциссами и точек прямой y 1 с рациональными абсциссами. Построить такой график не-

возможно.
Пусть известны графики заданных на	X	функций f и g .	Чтобы построить график
функции f g , достаточно для каждого x	X	сложить ординаты графиков этих функций.
Чтобы построить график функции f g , достаточно для каждого x			X перемножить ордина-
ты графиков функций f и g . При этом f g	обращается в нуль, если хотя бы одна из функ-
ций f , g обращается в нуль в данной точке. График функции a f			строят, деля a на ордина-
ты графика функции f . При этом в точках, где		f обращается в нуль, функция a f не опре-

делена. Обычно около этих точек график функции a f неограниченно удаляется от оси абсцисс.

	6x
Пример 4. Построим график функции y		.
	1 x2

Решение. Строим график функции x2 . Прибавляя к ординатам этого графика 1, получаем график функции 1 x2 . Выполняя деление числа 6 на ординаты последнего графика, по-

6

лучаем ординаты графика функции 1 x2 . Перемножая найденные ординаты и ординаты гра-

фика функции x , получаем искомый график. На рис. 12 изображено последовательное по-

строение графика функции y	6x
		.
	1 x2

y

y=

6 1+x2

7

6

5

4

3

2

1

2
x
+
1
=	2
y	x
	=
	y

	x
=
y

y=

-5 -4	-3	-2 -1 0			1	2 3 4	5 x
6x				-1
				-1

		-2
1+x
2			-3


			-4
			-4

Рис. 12

На практике применяются приборы, автоматически записывающие ход изменения некоторых величин с течением времени (осциллографы, термографы, сейсмографы и т.д.). Они задают графики этих величин как функции времени. Следует иметь в виду, однако, что это задание является лишь приближенным, так как получающаяся линия имеет некоторую толщину, и

потому значение

y , соответствующее данному значению t , определяется по графику лишь

приближенно.

Определение 4. Пусть числовая функция

f

x задана на множестве

X ,

а функция

g

y

- на множестве Y , и пусть

f x

Y . Тогда существует отображение g f

множества

X

в

R ,

задаваемое формулой

g f

x

g

f

x

. Это отображение является числовой

функцией, заданной на множестве X , и называется суперпозицией (композицией) функций или

сложной функцией.

Для математического анализа наиболее существенным является случай, когда функции

f

и g заданы своими выражениями f

x

и g

x

. В этом случае выражение функции g f

получается следующим образом: в выражении

g

x

каждое вхождение буквы

x

заменяется

выражением

f

x .

Пример 5. Найдем выражение для суперпозиций

g f и

f g ,

где

f

x

x3

1 ,

x .

g

x

3

каждое вхождение буквы x на x3

1 , полу-

Решение. Заменяя в выражении

x

3

x

чаем выражение

x3

4

x3

1 для функции g f . Таким же образом получаем выражение

x 3

f g .

x

3

1 для функции

Может случиться, что множество значений выражения, задающего функцию

f , не яв-

ляется подмножеством области определения Y функции

g . Тогда выражение, полученное

подстановкой выражения для

f в выражение для g , определяет функцию g f

лишь для тех

x , при которых f

x

Y .

Пример 6. Найдем область определения функции g f , если g x

f

x

4

x2 .

x ,

Решение. Так как

x

имеет значение лишь при x

0 , то искомая область определения

функции g f

задается неравенством 4

x2

0 . Из него находим, что x

2, 2 .

Определение 5. Функция, определенная на множестве Y значений функции

f , с обла-

стью значений, принадлежащей множеству

X , и ставящая в соответствие каждому элементу

y

Y

его прообраз x :

f

x

y , называется обратной к

f функцией и обозначается через

f

1 .

Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Если отображе-

ние f : X

Y

является взаимно однозначным (см. п. 1.2), то обратная функция является од-

нозначной.

Обратная функция также является числовой функцией. Если известно выражение

функции

f

,

то

выражение

для

f 1

получают следующим образом. Пишут

уравнение

y

f

x

и решают его относительно x . При этом могут получиться несколько выражений. Из

них надо выбрать то, значения которого принадлежат множеству

X . Получают равенство

x

f

1

y

. Тогда

f 1

y

и будет выражением обратной функции. Обычно в этом выражении

заменяют

y

на x . Выражение обратной функции не всегда можно записать с помощью из-

вестных нам функций. Поэтому операция образования обратной функции может привести к расширению запаса функций.

Пример 7. Найдем обратную функцию для функции x2

4 , x

0 .

x2

Решение.

Из уравнения y

4 находим

x

y

4 или

x

y 4 . Значениям

x

0,

соответствуют значения

y

4 , где y

4 . Поэтому обратная функция задается

выражением

y

4 и определена на луче 4,

.

Если заменить y

на x , то получим

1 x

f

x

4 ,

x 4 . Графики прямой и обратной функции изображены на рис. 13.

Замечание. Если точка M x, y принадлежит графику функции f , то точка N y, x

принадлежит графику функции f 1 , и обратно, из принадлежности точки N y, x графику функции f 1 следует принадлежность точки M x, y графику функции f . Но точки M x, y

y

7

6

5

4

3

2

1

	x
=
y

	4

y=	x+

	-5 -4 -3 -2 -1-1	0	1 2 3 4 5 6 7 8	x
		0	1 2 3 4 5 6 7 8
			4
			4
	-2		2-
	-2		x
			x
			=
	-3		y
	-3		y
	-4
	-4
и N	y, x симметричны относительно прямой y x . Значит, графики функций f и f 1 сим-
метричны друг другу относительно прямой y x .
			Рис. 13
	На рис. 13 изображены графики взаимно обратных функций и показана их симметрия
относительно прямой y x .
	В заключение приведем теорему, используемую при нахождении обратных функций.
	Теорема. Пусть функция f непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке X и
f X	Y . Тогда существует заданная на Y обратная к f функция f 1 , причем эта функция
возрастает (убывает) и непрерывна на Y .

3.2.Свойства функций

1.Ограниченность.

Определение 1. Функция f , заданная на множестве X , называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует такое число M , что для всех x X выполняет-

ся неравенство

f x

M ( f

x

M ):

M R x X f x M f x M .

Определение 2. Функция

f

называется ограниченной на множестве X , если сущест-

вует такое M

0 , что

f x

M для всех x

X :

M

0

x

X

f x

M .

Пример 1. Докажем, что функция

x2

ограничена.

1

x2

Решение. Так как

x2

1

,

то для любого x R выполняются неравенства

1

x2

1 x2

0

x2

1. Значит функция

x2

ограничена на R .

x2

1

При доказательстве ограниченности функций оказываются полезными следующие утверждения:

а) Если функция

f

ограничена на множествах X1

и X2 , то она ограничена и на объе-

динении X

X1 X 2

этих множеств.

б) Если функции

f

и g ограничены на множестве X , то их сумма f

g

и произведе-

ние

fg ограничены на X .

в) Если функция

f

ограничена на множестве X

сверху, то

f

ограничена на X сни-

зу.

г)

Если функция

f

положительна на

X и ограничена на X

снизу положительным

числом, то функция 1 f

ограничена на X .

Пример 2. Докажем,

что функции x3

5x2

x

3 и

1

ограничены на от-

x3 5x2

x

3

резке 0, 1 .

Решение. Функция x ограничена на

0, 1 , так как на этом отрезке выполняется нера-

венство 0

x 1. Постоянные функции

f

x

5 и

g

x

3 также ограничены на

0, 1 . За-

данную

функцию

можно

представить

как

сумму произведений ограниченных функций:

x3

5x2

x

3

x

5 x

x

3 ,

а

тогда

по

утверждению

б)

функция

ограничена на

0, 1 . Так как значения функции x3

5x2

x

3 на

0, 1 не меньше, чем 3, и она ограничена,

то по утверждению г) функция

1

ограничена на

0, 1 .

x3

5x2

x

3

Сформулируем теперь отрицания введенных понятий.

Определение 3. Функция f

- неограничена сверху на X :

M

x

X

f

x

M

;

- неограничена снизу на X :

M

x

X

f

x

M

;

- неограничена на X :

M

x

X

f

x

M .

Пример 3. Докажем, что функция

f

x

1

не является ограниченной на

0, 1 .

x

Решение. Возьмем произвольное M

0 и докажем,

что существует x

0, 1

, такое,

что

M

, т.е.

1

M . Это и будет означать неограниченность функции

1

на

0, 1

. Возь-

1

x

мем x

1

. Тогда

1

2M

M . Неограниченность функции доказана. Заметим, что

2M

x

1 (2M )

на любом интервале

, 1 , где

0 , эта функция ограничена: если 0

x , то

1

.

x

Пример 4. Докажем, что функция

f

x

x cos 2

x ,

x

, не ограничена.

Решение.

При x

n , n

N , имеем

f

n

n cos 2

n

n ,

и потому f

x

принимает

сколь угодно большие значения.

Если функция

f

ограничена на множестве

X , то множество ее значений на

X имеет

точную верхнюю и точную нижнюю грани. Их обозначают sup f

x

и inf f

x

. Индекс X

X

обычно опускают. Числа sup f

x

и inf f

x

могут как принадлежать, так и не принадлежать

множеству значений функции.

Пример 5. Для функции

f

x

sin x ,

x

R ,

имеем sup f

x

1, inf f

x

1 . Значе-

ния 1 и –1 принадлежат множеству значений функции.

Пример 6. Для функции

f

x

x2

,

x

R , имеем sup f

x

1 , inf f

x

0 . Значе-

x2

4

ние 0 функция принимает при x

0 . Значение 1 эта функция не принимает ни при каком x .

Но

среди значений

функции есть сколь угодно близкие к 1. Так, при

x

1000

имеем

f 1000

10002

1

4

. Это значение отличается от 1 меньше чем на 0,000004.

10002

4

1000004

			2. Монотонность
Определение 4.	Функция f		называется:
- возрастающей на X :	x1, x2	X	x1	x2	f	x1	f	x2 ;
- убывающей на X : x1, x2 X		x1	x2	f	x1	f	x2		;
- неубывающей на X :	x1, x2	X	x1	x2	f x1		f	x2	;
- невозрастающей на X : x1, x2		X x1		x2	f	x1		f	x2 .

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается (рис. 14), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 15).

y

			)
		x
	(
	f
=
y

y

y=f(x)

0 x1 x2 x	x1	0	x2	x
	Рис. 14			Рис. 15

Графики неубывающей функции (рис. 16) и невозрастающей функции (рис. 17) могут иметь «площадки».

y

0

		(x	)
		(x
y	=	f
y	=

y

x 0

Рис. 16

y = f ( x )

x

Рис. 17

Если функция возрастает (убывает, не возрастает,

не убывает) на

X ,

то говорят, что

она монотонна на X .

Пример 7. Докажем, что функция

f

x

x3

возрастает на всей числовой прямой.

Решение. Пусть x1

x2 . Тогда

f x

x3

x

x x2

x x

x2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x1

2

3

x

x2 .

2

1

2

4

1

x1

2

3

Так как x

x

0 и

x

x2

0, то f

x

f

x

0. Итак,

x

f x

f x .

2

1

2

4

1

2

1

2

1

2

Значит функция

f x

x3

возрастает на всей числовой прямой.

Пример 8. Докажем, что функция

f

x

sin x возрастает на отрезке

;

.

2

Решение. Пусть

x1

x2

. Тогда

2

f

x

f x

sin x

2sin

x2

x1

cos

x2

x1

.

2

1

2

1

2

Так как x1

,

x2

,

x1

x2 ,

то

x1

x2

, а так как

x1

,

x2

, то

x1

x2

.

2

Значит,

x1

x2

, а потому cos

x1

x2

0 . С другой стороны, из x

x

получаем, что

2

1

2

Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Смотрите также: