Материал: Введение в теорию массового обслуживания

на относительную пропускную способность системы.

5. Среднее число свободных от обслуживания каналов

Иногда рассматривают СМО с бесконечным числом каналов. Хотя кто-то может вполне резонно возразить, что таковых не бывает, названная модель вполне адекватно описывает некоторые реальные ситуации. Например, если каналы обслуживания – номера в гостинице на курорте в мертвый сезон, а также в других ситуациях, когда каналов очень много, а заявок очень мало. Очевидно, в такой системе обслуживаются все заявки.

В этом случае

Среднее число занятых каналов

61

Таким образом, среднее число занятых каналов в «бесконечно-

канальной» СМО = определяется только отношением ин-

тенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания.

§ 3.3. Одноканальная СМО без ограничений на длину очереди

Рис. 12. Одноканальная СМО без ограничений на длину очереди

Одноканальная система без ограничений на длину очереди (рис. 12) имеет бесконечное множество состояний { }, где где = 0, 1, . . . : 0 – единственный канал свободен, 1 – канал занят об- служиванием заявки, 2 – канал занят, и одна заявка находится в очереди, 3 – канал занят, и две заявки находятся в очереди и т. д. Таким образом, состояние , где > 1, – это когда в очереди находится − 1 заявка. Интенсивность входящего потока

– , интенсивность обслуживания – . Интенсивности всех переходов в порядке возрастания индекса равны , а интенсивности всех переходов в обратном направлении, в отличие от случая из § 3.2, совпадают и равны .

Если заканчивается обслуживание очередной заявки при наличии очереди, система переходит к обслуживанию следующей, а длина очереди уменьшается на единицу.

62

Формулы Эрланга теперь примут вид

Разумеется, должно выполняться условие < 1 . В противном

случае, когда ≥ , интенсивность обслуживания не превы-

шает интенсивности поступления заявок, очередь со временем стремится к бесконечности и сам разговор о предельных вероятностях теряет смысл.

В дальнейшем мы не будем специально выделять основные характеристики рассматриваемых СМО.

Вероятности состояний системы = (1 − ) · . Любая посту- пившая заявка принимается в очередь и рано или поздно обслуживается. Отсюда относительная пропускная способность = 1,

а абсолютная = . Выходящий поток только один и образован

обслуженными заявками, его интенсивность равна интенсивности входящего потока .

Найдем среднюю длину очереди оч для установившегося реше-

ния. Вероятность нулевой длины равна 0 + 1, и далее при > 1

63

вероятность длины k равна +1. Таким образом,

Пусть оч – время нахождения вновь поступившей заявки в оче-

реди. ( оч/ ) – ожидаемое время пребывания заявки в очереди, при условии, что система на момент поступления заявки находится в состоянии . Тогда

0, если = 0;

( оч/ ) =

, если > 0.

По формуле полной вероятности ожидаемое время пребывания заявки в очереди

Отсюда – первая формула Литтла: ·

оч = оч.

Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме среднего времени пребывания в очереди и среднего времени обслу-

64

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием,

обсл =

= 1 − 0 = . Тогда среднее число находящихся в системе заявок

Отсюда легко получается соотношение между количеством заявок в системе и временем пребывания заявки в системе (34) – вторая формула Литтла. Таким образом,

Рассмотренная нами в этом параграфе система без ограничений на длину очереди является довольно распространенной моделью реальных систем. Например, пусть пропускная способность городского травматологического пункта – 10 пациентов в час, а в городе в этот период времени случается 9 травм в час. Чему

равна средняя длина очереди оч и среднее время пребывания

= 0, 9; оч = 8, 1 пациента; оч = 0, 9 часа, или 54 минуты. При

этом, если смена длится 6 часов, то из них 0,6 часа, или 36 минут, пункт простаивает. Эти моменты важно учесть при подготовке организационных решений, связанных с медицинским обслуживанием и другими видами обслуживания населения.

65