Материал: Введение в теорию массового обслуживания

бели и размножения. Согласно схеме первое уравнение

0′( ) = − 01 · 0( ) + 10 · 1( ),

далее

′( ) = −1, · −1( ) − ( , −1 + , +1) · ( ) + +1, · +1( ),

где > 0. Если множество состояний конечно и номер крайнего

справа – , то систему будет замыкать уравнение

′ ( ) = −1, · −1( ) − , −1 · ( ).

Уравнения Колмогорова для случая процессов гибели и размножения иногда называют уравнениями Эрланга.

§ 3.1. Формулы Эрланга

Аналитическое решение систем уравнений Колмогорова даже для простых процессов гибели и размножения с конечным числом состояний часто оказывается довольно громоздким. Однако если существует установившееся решение, получить его нетрудно. Система уравнений Колмогорова для установившегося решения

56

принимает вид

− 01 · 0 + 10 · 1 = 0;

01 · 0 − ( 10 + 12) · 1 + 21 2 = 0;

. . .

−1, · −1 − ( , −1 + , +1) · + +1, +1 = 0.

Положим, = , +1 · − +1, · +1, тогда

где > 0. Тогда = · 0 . Таким образом, чтобы получить , надо просто произведение интенсивностей всех переходов, ведущих на схеме 10 слева направо к , разделить на произведение

57

интенсивностей всех переходов, ведущих справа налево от .

Все сказанное справедливо и для случая = ∞, если соответствующая сумма сходится. Итак,

Выражения (32–33) известны как формулы Эрланга, поскольку именно Эрланг впервые получил их для установившегося процесса в многоканальной СМО с отказами. Ниже мы рассмотрим примеры использования формул (32 - 33) для различных типов СМО.

§ 3.2. Многоканальная СМО с отказами

Система с отказами и каналами обслуживания имеет конечное

множество состояний { }, где = 0, 1, . . . , : 0 – свободны все

каналы, 1 – занят один канал, 2 – заняты два канала и так далее, – заняты все каналов обслуживания. Интенсивность входящего потока – , интенсивность обслуживания – . Как

58

видно на схеме (рис. 11), интенсивности переходов по возрастанию индекса совпадают с интенсивностью входящего потока, а интенсивности переходов по убыванию индекса зависят от индекса состояния.

Рис. 11. Многоканальная СМО с отказами

Так, интенсивность перехода → −1 равна · , т. е. произ-

ведению интенсивности обслуживания одним каналом на ко-

личество задействованных каналов .

Введем обозначения = – приведенная интенсивность входящего потока или нагрузка системы.

Тогда

Отказ в обслуживании заявка получает только тогда, когда си- стема находится в состоянии , т. е. все каналы заняты. Веро-

ятность этого события .

59

Характеристики многоканальной СМО с отказами

1.Относительная пропускная способность системы .

= 1 −

2.Абсолютная пропускная способность, она же интенсивность выходящего потока обслуженных заявок

= · = (1 − ) · .

3.Интенсивность выходящего потока заявок, получив-

ших отказ,

· .

4.Среднее число занятых обслуживанием каналов, т. е. математическое ожидание числа занятых каналов

Таким образом, среднее число занятых каналов равно произведению приведенной интенсивности входящего потока

60