Материал: Введение в теорию массового обслуживания
0( + ) − 0( ) |
= |
− |
|
· |
|
( ) + |
( ) |
. |
(4) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
Устремив к нулю в левых и правых частях (3) и (4), получим бесконечную систему дифференциальных уравнений:
0′( ) = − · 0( ); |
1( ); |
|
||||
1′ |
( ) = 0( ) |
|
||||
|
|
· |
− |
· |
|
(5) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
( ) = 1( ) |
( ). |
|
|||
|
|
· |
− |
− · |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
0(0) = 1, |
|
1(0) = |
. . . |
(0) = 0. |
(6) |
|
Первый способ решения системы (5)
Подставим во второе уравнение выражение 0( ), запишем урав-
нение в виде
1′( ) + · 1( ) = · − ·
и, учтя начальное условие 1(0) = 0, найдем решение:
1( ) = · · − .
Теперь, подставив в третье уравнение выражение 1( ), получим
уравнение
2′( ) + · 2( ) = 2 · · − ·
16
и, учтя начальное условие 2(0) = 0, найдем его решение:
2( ) = |
( · )2 |
− · . Процесс будем продолжать до тех пор, по- |
|
2! |
|
ка мы не догадаемся, что вероятность появления событий за время равна
( ) = |
( · ) |
− · . |
(7) |
|
! |
||||
|
|
|
Теперь, когда мы знаем результат, нетрудно обосновать его, прибегнув к методу математической индукции. Здесь мы пропустили собственно сам процесс решения уравнений. Первый способ позволяет получить решение, опираясь на минимальный математический аппарат. Однако в некоторых случаях этот способ может оказаться слишком громоздким. Теперь рассмотрим более компактный метод решения бесконечной системы линейных дифференциальных уравнений.
Второй способ решения системы (5)
Введем производящую функцию |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
. Заме- |
||||||||||
тим, что из (6) следует (0, ) = 1. В |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
=0 ( ) · |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениях (5) левые и |
|||||||||
правые части соответственно индексу при |
|
умножим на и |
|||||||||||||||||
просуммируем отдельно левые и правые части. Тогда |
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
; (8) |
|
′( ) |
· |
= |
· |
|
−1 |
( ) |
· |
− |
|
· |
|
|
( ) |
· |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
=0 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
= ( |
∞ |
|
|
|
|
= ∂ ( , ); |
|
|
|
|
||||||
′( ) |
|
( ) )′ |
|
|
|
|
|||||||||||||
∑ |
· |
|
∑ |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|||||
=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
= · |
∑ |
|
|
|
· −1 = · ( , ). |
|
|
|
||||||||
−1( ) · |
−1( ) |
|
|
|
|||||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
Суммы в левой и правой частях (8) можно переписать в виде
∂ ( , ) = ·( −1)· ( , ), после чего решение бесконечной системы
∂
сводится к решению одного уравнения.
∂ ( ( , )) |
= ·( −1) = |
( ( , )) = ·( −1)· + | | |
∂ |
или
( , ) = · ·( −1)· ,
где вещественное |
= . Учитывая равенство |
(0, ) = 1, |
||||
получим = 1 и |
|
|
|
|
|
|
( , ) = ·( −1)· = · · − · = |
∞ ( · ) − · = |
∞ |
( ) . |
|||
|
· |
∑ |
· |
∑ |
· |
|
|
=0 |
! |
=0 |
|||
|
|
|
|
|
||
Осталось только приравнять в последнем равенстве коэффициенты при степенях . Мы снова получили ( ) = ( ·!) − · . По-
следняя формула в теории вероятностей известна как формула
распределения Пуассона.
§ 1.3. Свойства простейшего потока
На рис. 1 представлены графики функций (7) при = 0, 1, 2, 3 и
= 4 . Взяв (при > 0) производную одной из функций (7) и
приравняв ее к нулю, легко найдем точку максимума функции
= . Значение вероятности в точке максимума ( ) = = ! · − . Хотя мы предполагали > 0, формула = спра-
ведлива и при = 0.
18
Рис. 1. Распределение Пуассона
Нетрудно также аналитически доказать еще одну отраженную на рисунке закономерность. График каждой функции пересекает график следующей по значению функции в точке ее максимума.
Как доказано выше, 0( ) = − · – вероятность того, что за вре-
мя не произойдет ни одного события или, иначе говоря, того,
что промежуток между двумя событиями больше .
Тогда ( < ) = ( ) = 1 − − · – вероятность того, что время
между двумя событиями меньше t, а плотность вероятности
( ) = ′( ) = · − · .
+∞ |
+ |
|
1 |
ож = ( ) = ∫−∞ |
( ) · · = ∫0 |
∞ · − · · · = |
|
|
19
– математическое ожидание времени t между двумя событиями.
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
2 |
|
|
|
( 2) = ∫−∞ |
( ) · 2 · = |
∫0 |
· − · · 2 · = |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|||||||||
– математическое ожидание 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
( ) = √ ( ) = |
|||||||
( ) = ( 2) − ( ( ))2 = |
|
, |
|
|
||||||
2 |
|
|
||||||||
– соответственно дисперсия и среднее квадратичное отклонение времени между двумя событиями от ожидаемого. Иначе говоря,
среднее время между заявками на обслуживание 1 и среднее от-
клонение от среднего также 1
.
Заметим также, что ( ) = ! . Теперь определим ожидаемое количество событий за время и его разброс.
( ) = |
∞ |
( ) = |
|
∞ |
( · ) − · = |
|
|
||||||||
|
∑ |
|
· |
|
|
∑ |
· |
|
|
|
|
|
|
||
|
=0 |
|
|
|
=1 |
! |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − · |
|
|
∞ |
|
|
( · ) −1 |
= − · |
|
( · )′ = |
||||||
|
∑ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
· |
· |
|
· |
|
! |
|
|
· |
· |
|
||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||
|
· . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит, математическое ожидание количества событий за время t равно · , а – ожидаемое количество событий, приходяще-
еся на единицу времени. Величину называют интенсивностью входящего потока, или параметром потока.
20