Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

S(z) −Sn (z) <ε / 3 для любой точки z D. Зафиксируем одно

из таких значений п. Частичная сумма Sn(z) является суммой конечного числа непрерывных функций и, следовательно, непрерывна в D. Поэтому найдется такое число δ > 0, что при

Учитывая, что Sn (z0 ) −S(z0 ) = S(z0 ) −Sn (z0 ) <ε / 3 , получаем

S(z) −S(z0 ) =

=(S(z) −Sn (z))+(Sn (z) −Sn (z0 ))+(Sn (z0 ) −S(z0 )) ≤

≤S(z) −Sn (z) + Sn (z) −Sn (z0 ) + Sn (z0 ) −S(z0 ) <

S(z) −S(z0 ) <ε . Это и означает, что функция S(z) непрерывна

в точке z0. Так как z0 — любая точка из D, то S(z) непрерывна в D, что и требовалось доказать.

Известно, что конечная сумма непрерывных функций является непрерывной функцией. Теорема 6.3 показывает, что аналогичное свойство сохраняется и для равномерно сходящихся рядов. Можно показать, что если сходимость не равномерная, то это свойство, вообще говоря, не имеет места.

Теперь перенесем на равномерно сходящиеся ряды следующее свойство: интеграл от конечной суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Теорема 6.4. Если члены ряда (6.1) непрерывны в области D и ряд (6.1) равномерно сходится в этой области к функции S(z), то его можно почленно интегрировать вдоль любой кривой Г, целиком лежащей в области D, т.е.

121

Доказательство. По теореме 6.3 функция S(z) непрерывна. Поэтому интеграл ∫S(z)dz существует. Докажем

Γ

равенство(6.4). Пусть

n

σn = ∑∫ fk (z)dz

k =1 Γ

— частичная сумма проинтегрированного ряда. Нужно

где Sn(z) — частичная сумма ряда (6.1). Пусть l — длина кривой Г. Возьмем произвольное ε > 0. В силу равномерной сходимости ряда (6.1) найдется такое число N, что

Итак, для любого ε > 0 найдется такое N, что при п > N

а это и означает справедливость равенства (6.4). Нам понадобится еще одно простое свойство.

122

Замечание 6.5. Если ряд (6.1) равномерно сходится в области D к функции S(z), а функция g(z) ограничена в D, то ряд

∞

∑g(z) fn (z) равномерно сходится в D к функции g(z)S(z).

n=1

Доказательство. Ограниченность функции g(z) означает существование такого числа М > 0, что g(z) < M для

частичные суммы изучаемых рядов. Очевидно, что

n

σn (z) = g(z)∑ fk (z) = g(z)Sn (z)

k =1

Возьмем любое ε > 0. Так как ряд (6.1) сходится равномерно, то найдется такое число N , что S(z) −Sn (z) <ε / M при п > N и всех z D. Отсюда

g(z)S(z) −σn (z) = g(z)S(z) − g(z)Sn (z) = g(z)(S(z) −Sn (z)) = = g(z) S(z) −Sn (z) < M Mε =ε

По определению равномерной сходимости получаем, что ряд

∞

∑g(z) fn (z)

n=1

равномерно сходится к g(z)S(z), что нам и требовалось. Теоремы 6.2-6.4 и замечание 6.5 справедливы не только

для рядов, сходящихся в области, но и для рядов, равномерно сходящихся на кривой. Доказательства в этом случае остаются прежними.

В указанных утверждениях не требуется, чтобы функции fn(z), составляющие ряд (6.1), являлись аналитическими в области D . Но если, помимо равномерной сходимости ряда (6.1), предположить еще и аналитичность функций fn(z), то такой ряд будет обладать важными дополнительными свойствами, не имеющими места для равномерно сходящихся

123

рядов из дифференцируемых функций действительного переменного.

Теорема 6.6 (теорема Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда). Пусть ряд

∞

∑ fn (z)

n=1

составленный из аналитических в области D функций fn(z), равномерно сходится в D. Тогда его сумма S(z) также аналитична в D, причем для любого натурального k ряд

∞

∑ fn(k ) (z)

n=1

полученный почленным k-кратным дифференцированием исходного ряда, будет сходиться в D к функции S(k )(z)

∞

(другими словами, ряд ∑ fn (z) можно почленно

n=1

дифференцировать любое число раз).

Доказательство. Пусть z0 — произвольная точка из D. Так как область D является открытым множеством, то найдется окрестность U точки z0 (т.е. некоторый круг с центром в точке z0 ), целиком лежащая в D. Возьмем некоторый замкнутый контур Г, лежащий в U (рис. 6.1). Так

как по условию ряд (6.1) равномерно сходится в D, то тем более он равномерно сходится и в U. Поскольку функции fn(z) аналитичны, то они и непрерывны в D и в U. Поэтому применима теорема 20.4, согласно которой

Так как функции fn(z) аналитичны в U, то по теореме 4.1 (Коши) все интегралы в правой части равны нулю.

124

Следовательно, равен нулю и интеграл ∫S(z)dz . Итак,

Γ

функция S(z) по теореме 6.3 непрерывна в односвязной области U и интеграл от S(z) по любому замкнутому контуру, лежащему в U, равен нулю. По теореме 4.6 Морера S(z) является аналитической функцией в U. В частности, S(z) аналитична в точке z0. Поскольку z0 выбиралось произвольно, то S(z) будет аналитической функцией во всей области D.

∞

Покажем теперь, что ряд ∑ fn (z) можно почленно

n=1

дифференцировать. Обозначим через r радиус круга U, а через

Поэтому g(z) является ограниченной на γ . Так как ряд

∞

∑ fn (z) равномерно сходится на γ к функции S(z), то в силу

n=1

замечания 6.5 ряд

∞

∑g(z) fn (z)

В силу равномерной сходимости последнего ряда его можно почленно интегрировать по окружности γ , т.е.

125