Документ: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н, страницы 131-135

для любого z. Значит, l = 0 < 1 для каждого z . Поэтому ряд (21.4) абсолютно сходится во всей комплексной плоскости

;в этом случае радиус сходимости R = ∞. Пример 3.3. Найти круг сходимости ряда

∞
1+ z +2!z2 +... +n!zn +... = ∑n!zn	(6.9)

n=0

Решение. Опять воспользуемся признаком Даламбера:

lim

(n +1)!zn+1

= lim(n +1)

z

=

z

0, если z = 0,

n

lim(n +1) =

n→∞

n!z

n→∞

∞, если z ≠ 0

Таким образом, если z = 0, то l = 0 < 1, и ряд (6.5) сходится; если z ≠ 0 , то l = ∞ >1, и ряд (6.5) расходится. Следовательно, круг сходимости вырождается в единственную точку z = 0, а радиус сходимости R = 0.

Пример 3.4. Найти множество сходимости ряда

∞

(z

−2)

n

(z −2)

2

∑

= (z −2) +

+...

(6.10)

2

4

n=1

n

Решение. По признаку Даламбера

(z −2)n+1

(z −2)n

(z −2)n2

z −

n

2

z −2

lim

2

:

2

= lim

2

=

2

lim

=

n→∞

(n +1)

n

→∞

(n +1)

n→∞ n +1

Значит, при

z −2

= l <1 ряд (6.10) абсолютно сходится, а при

z −2 = l >1 расходится. Поэтому кругом сходимости является

круг

z −2

<1 с центром z0 = 2 и радиусом R = 1.

z −2

Исследуем сходимость на его границе, т.е. на окружности

=1 . В точках окружности имеем

(z −2)n

=

z −2

n

=

1

n2

∞

1

Ряд

∑

- сходится. Значит, во всех точках границы круга

2

n=1

n

сходимости ряд (6.10) также будет абсолютно сходящимся, и 131

множеством его сходимости является замкнутый круг z −2 ≤1.

Отметим основные свойства степенных рядов.

Свойство 21.5. Ряд (6.5) сходится абсолютно и равномерно в любом круге z − z0 < r < R , лежащем внутри

круга сходимости.

Доказательство. Если z − z0 < r < R , то существует

точка z1, такая что r <

z − z0

< R (рис. 6.3). Следовательно,

c (z − z

0

)n

<

c (z − z0 )n

.

n

1

Так как точка z1 лежит внутри

круга

сходимости,

то

ряд

∞

∑

cn (z1 − z0 )n

сходится.

По

n=0

теореме

3.2

(признаку

Вейерштрасса)

ряд

∞

∑cn (z1 − z0 )n

абсолютно

и

n=0

равномерно

сходится

в круге

Рис. 6.3

z − z0

< r , что и требовалось

доказать.

Свойство 3.6. Сумма S(z) ряда (6.5) является аналитической функцией внутри круга сходимости.

Доказательство. Возьмем произвольную точку z' внутри круга сходимости. Найдется такое число r, что

z′− z0 < r < R . По свойству 3.5 ряд (6.5) равномерно сходится

в круге	z − z	0	< r ; каждый член	c (z − z		)n	ряда является

				n	0

аналитической функцией в этом круге (и даже во всей комплексной плоскости ). По теореме 3.6 (Вейерштрасса)

сумма S(z) будет аналитической функцией в круге z − z0 < r и,

132

вчастности, в точке z'. Тем самым аналитичность функции S(z)

влюбой внутренней точке круга сходимости установлена.

Свойство 3.7. Степенной ряд

S(z) = c0 +c1 (z − z0 ) +c2 (z − z0 )2 +... +cn (z − z0 )n +... =

∞

= ∑cn (z − z0 )n (6.11)

n=0

можно почленно интегрировать внутри круга сходимости, т.е.

z′

c1

c2

∫S(z)dz = c0 (z′− z0 ) +

(z′− z0 )2

+

(z′− z0 )3 +...

z0

2

3

c

∞

c

... +

n

(z′− z0 )n+1

+... = ∑

n

(z′

− z0 )n+1

(6.12)

n +

1

n +1

n=0

где z' — произвольная точка внутри круга сходимости ряда (6.11). Полученный при этом степенной ряд (6.12) имеет тот же круг сходимости, что и исходный ряд (6.11).

Доказательство. Как и при доказательстве свойства 3.6, выберем число r, такое что z′− z0 < r < R . Ряд (6.11) равномер-

но сходится в круге z − z0 < r , его члены являются

непрерывными (и даже аналитическими) функциями в этом круге. Поэтому возможность почленного интегрирования и равенство (6.12) следуют из теоремы 3.4 и равенства (6.8); в качестве кривой Г в (6.8) можно выбрать любую кривую,

идущую из z0 в z' внутри круга z − z0 < r , например отрезок

[ z0, z' ]. Так как степенной ряд (6.12) сходится в любой точке z', лежащей внутри круга сходимости ряда (6.11), то радиус сходимости R1 ряда (6.12) не может быть меньше радиуса сходимости R ряда (6.11), т.е. R1 ≥ R Дх ^ R.

Покажем, что на самом деле R1 = R. Предположим противное, т.е. R1 > R. Возьмем число R', такое что R < R' < R1. По свойству 3.5 ряд (6.12) равномерно сходится в круге

z − z0 < R′. Так как этот ряд составлен из аналитических функций, то, согласно теореме 3.6 (Вейерштрасса), его можно

133

почленно дифференцировать в круге	z − z0		< R′. Значит, ряд
почленно дифференцировать в круге	z − z0		< R′. Значит, ряд
∞
∑cn (z′− z0 )n , полученный почленным дифференцированием
n=0
ряда (21.8), будет сходиться в круге		z − z0		< R′. Поскольку
ряда (21.8), будет сходиться в круге		z − z0		< R′. Поскольку

R < R', то сходимость будет и в некоторых точках z′, лежащих

вне круга				z − z0	< R . Но это противоречит тому, что

	z − z0	< R	— круг сходимости ряда (6.11). Итак, R1 = R, что и

требовалось доказать.

Свойство 3.8. Степенной ряд (6.11) можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости любое число раз:

S

′

+2c2

(z

− z0 ) +3c3 (z − z0 )

2

+... +ncn

(z − z0 )

n−1

+...,

(6.13)

(z) = c1

S

′′

+3

2

c3 (z − z0 ) +... +n(n −1)cn (z − z0 )

n−2

+...,

(6.14)

(z) = 2c2

………………………………………………………………………

S(n)(z) = n(n −1)(n −2)...1cn +(n +1)n(n −1)...2cn+1 (z − z0 ) +...

(6.15)

Полученные при дифференцировании ряды (6.13)—(6.15) имеют тот же круг сходимости, что и исходный ряд (6.11).

Доказательство. Пусть z' — произвольная точка круга


сходимости			z − z0	< R . Опять	возьмем число r, такое что

	z′− z0	< r < R . Поскольку			ряд (6.11) составлен из

аналитических функций и равномерно сходится в круге z − z0 < R , то по теореме Вейерштрасса его можно почленно

дифференцировать в этом круге (а следовательно, и в точке z') любое число раз. Таким образом, ряды (6.13)—( 6.15) будут сходиться в любой точке круга сходимости ряда (6.11) к соответствующим производным функции S(z). Значит, радиусы сходимости рядов (6.13)—( 6.15) не меньше, чем R.

Докажем вначале, что радиус сходимости R1 ряда (6.13) равен R. Пусть это неверно, т.е. R1 > R. Проинтегрировав этот

ряд внутри круга z − z0 < R1 , мы получим исходный ряд (6.11)

134

(кроме первого члена c0, отбрасывание которого не влияет на сходимость ряда). По свойству 3.7 проинтегрированный ряд

имеет тот же круг сходимости z − z0 < R1 . Значит, ряд (6.11)

имеет радиус сходимости R1 > R, что противоречит условию. Итак, R1 = R, т.е. при однократном дифференцировании радиус и круг сходимости сохраняются. Но ряд (6.15) получается дифференцированием ряда (6.13). Значит, его радиус сходимости также равен R и т.д.

Замечание. Хотя круг и радиус сходимости степенного ряда остаются неизменными при почленном интегрировании и дифференцировании ряда, сходимость (или расходимость) в граничных точках круга при этих операциях может не сохраняться.

Свойства 3.7 и 3.8 позволяют иногда найти сумму ряда. Пример 3.9. Найти сумму S(z) ряда

∞

∑nzn

n=1

Решение. Воспользуемся равенством

∞	1
∑zn =		,	z	<1

	1− z
n=0	1− z

(см. пример 3.1). Дифференцируя этот ряд почленно, получим

∞	n−1		1 ′		1
∑nz		=		=
∑nz		=		=	(1− z)	2
n=1			1− z		(1− z)

Осталось домножить левую и правую части равенства на z:

∞	z				z
∑nzn =			, т.е.	S(z) =			,	z	<1

	(1− z)	2			(1− z)	2
n=1

6.4. Ряды Лорана

Рассмотрим разложения в ряды более широкого класса функций, чем рассматривали прежде, а именно: будем изучать такие (однозначные) функции, которые аналитичны не во всем

135

Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Смотрите также: