Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тот факт, что ряд (6.1) сходится и его сумма равна S, записывается в виде

∞

S = ∑zn

n=1

Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало отклоняющиеся от S.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда с комплексными членами zn = хп + iyn и рядов с действительными членами хп и уп.

Теорема 6.1. Для сходимости ряда (6.1) необходимо и

					∞	∞
достаточно,		чтобы сходились два		ряда	∑xn	и ∑yn с
					n=1	n=1
действительними членами.			При	этом	для	равенства
∞
∑zn	=σ +iτ	необходимо	и	достаточно,		чтобы
n=1
∞	∞
∑xn =σ, ∑yn =τ.
n=1	n=1
	Доказательство. Введем обозначения для частичных
сумм рядов:		Sn = z1 + z2 +... + zn ;
		Sn = z1 + z2 +... + zn ;
	σn	= x1 + x2 +... + xn ;	τn = y1 + y2 + ... + yn

Тогда Sn =σn +iτn . Воспользуемся теперь теоремой 4.1: для

того чтобы последовательность Sn			=σn +iτn имела предел
S =σ +iτ ,	необходимо	и	достаточно,	чтобы
последовательности {σ п}		и {τ п}	имели предел,	причем
limσn =σ ,	limτn =τ . Отсюда и следует нужное утверждение,
n→∞	n→∞
поскольку	существование	пределов последовательностей

111

∞	∞
{ Sn }, {σn } и {τn } равносильно сходимости рядов ∑zn ,	∑xn
n=1	n=1
∞
и ∑yn соответственно.
n=1

С помощью теоремы 6.1 многие важные свойства и утверждения, справедливые для рядов с действительными членами, сразу переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из этих свойств.

∞

1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд ∑zn

n=1

сходится, то lim zn = 0 .

n→∞

(Обратное утверждение неверно: из

		∞
того что lim zn = 0 , не следует, что ряд ∑zn сходится.)
n→∞		n=1
		n=1
∞	∞
2°. Пусть ряды ∑zn	и ∑wn	с комплексными членами
n=1	n=1
сходятся и их суммы равны S и σ		соответственно. Тогда ряд

∞

∑(zn + wn ) тоже сходится и его сумма равна S +σ .

n=1

∞

3°. Пусть ряд ∑zn сходится и его сумма равна S. Тогда

n=1

∞

для любого комплексного числа λ ряд ∑(λzn ) тоже сходится

n=1

и его сумма равна λS .

4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число членов, то получится также сходящийся ряд.

5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда

∞

∑zn необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0

n=1

112

существовало такое число N (зависящее от ε ), что при всех

n+ p

п > N и при всех p ≥ 0 выполнено неравенство

∑ zk

<ε

k =n+1

Так же как и для рядов с действительными членами,

вводится понятие абсолютной сходимости.

∞

Ряд ∑zn называется абсолютно сходящимся,

если

n=1

сходится ряд

∞

∑

+... +

+...,

n=1

∞

составленный из модулей членов данного ряда ∑zn

n=1

∞

Теорема 6.2. Если сходится ряд

∑

, то ряд

∑zn

n=1

также сходится.

(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.)

Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возьмем произвольное ε > 0. Так

∞

как

ряд

∑

сходится, то

в силу критерия

Коши,

n=1

примененного к этому ряду, найдется такое число N, что при

всех п > N и при всех р ≥ 0

n+ p

∑

<ε

k =n+1

1.1

было

показано, что

z + w

≤

для

любых

комплексных чисел z и w это неравенство легко распространяется на любое конечное число слагаемых. Поэтому

113

n+ p

∑ zk

zn+1 + zn+2 +... + zn+ p

≤

k =n+1

n+ p

≤

zn+1

zn+2

+... +

zn+ p

= ∑

<ε

k =n+1

Итак, для любого ε

> 0 найдется число N, такое что при всех

n+ p

п > N и при всех р ≥ 0 выполнено неравенство

∑ zk

<ε .

k =n+1

∞

Согласно критерию

Коши, ряд ∑zn сходится, что и

n=1

требовалось доказать.

Из курса математического анализа известно (см., например, что утверждение, обратное теореме 6.2, неверно даже для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

∞

Ряд ∑zn называется условно сходящимся, если этот ряд

	n=1
				∞
сходится,	а ряд		∑		zn	, составленный из модулей его членов,
сходится,	а ряд		∑		zn	, составленный из модулей его членов,
расходится.			n=1
расходится.
	∞
Ряд	∑	zn			является рядом с действительными
Ряд	∑	zn			является рядом с действительными

n=1

неотрицательными членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости, известные из курса математического анализа. Напомним без доказательства некоторые из них.

Признаки сравнения. Пусть числа zn и wn начиная с некоторого номера N удовлетворяют неравенствам zn ≤ wn , п = N, N + 1, ... Тогда:

∞		∞
1) если ряд ∑	wn	сходится, то и ряд ∑	zn	сходится;

n=1		n=1

114

∞

2) если ряд ∑

расходится, то и ряд ∑

n=1

расходится.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

lim

zn +1

= l

n→∞

Тогда:

∞

если l < 1, то ряд ∑zn

сходится абсолютно;

n=1

∞

если l > 1, то ряд ∑zn

расходится.

n=1

При l = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

"Радикальный" признак Коши. Пусть существует

предел lim n	zn	= l . Тогда:
предел lim n	zn	= l . Тогда:
n→∞		∞
n→∞

если l < 1, то ряд ∑zn	сходится абсолютно;
n=1
∞
если l > 1, то ряд ∑zn	расходится.
n=1

При l = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 6.3. Исследовать сходимость рядов

∞

cosin

∞

cos (i +n)

a) ∑

;

б)

∑

;

n=1

Решение. а) По определению косинуса

cos in =

e−n +en

Поэтому

cos in

1 e

2 2

115

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)