Документ: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н, страницы 21-25

Рис. 2.3

Нетрудно видеть, что если точки Zn сферы приближаются к Р, то соответствующие точки zn плоскости

неограниченно удаляются от начала координат. Точке Р не соответствует ни одна точка из . Но мы введем в

рассмотрение дополнительную (воображаемую) точку,

которую назовем бесконечно удаленной и обозначим z = ∞.
Эту точку z = ∞ мы и	поставим в соответствие точке Р.
Комплексная плоскость	, дополненная бесконечно

удаленной точкой, называется расширенной комплексной

плоскостью и обозначается		. Каждой точке z
соответствует единственная точка Z S , и наоборот; сфера S

называется комплексной сферой или сферой Римана. Сфера

Римана показывает, что точка z = ∞ и остальные точки из , называемые конечными, в некотором смысле равноправны: и те, и другие изображаются точками сферы S. Такое представление часто бывает удобным при рассмотрениях, включающих бесконечно удаленную точку.

21

Можно доказать, что при стереографической проекции

прямые и окружности на	переходят в окружности на S,
углы между пересекающимися кривыми сохраняются.
Возьмем на сфере S некоторую окрестность точки Р, т.е.
сферическую шапочку с	центром Р. Точкам Z ≠ P этой

окрестности будут соответствовать точки z , лежащие вне некоторого круга с центром в начале координат. Это показывает естественность следующего определения.

Окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество, состоящее из точек z , для которых z > R , и

самой точки z = ∞ , т.е. внешность круга радиуса R с центром в начале координат с добавлением самой точки z = ∞ .

2.2. Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей

Пусть каждому натуральному числу n = 1,2,... поставлено


в соответствие комплексное		число	zn .	Тогда	говорят,		что
задана последовательность {zn}. Так				как zn	= xn +iyn ,		то
задание последовательности		{zn}	комплексных			чисел
равносильно заданию двух последовательностей					{xn}	и {yn}
действительных чисел.		А			пределом
Комплексное	число		называется
последовательности	{zn}, если для любого положительного

числа ε найдется такой номер N (зависящий от ε ), что при всех n > N выполнено неравенство zn − A <ε .

Выполнение этого условия означает, что для сколь угодно малой ε -окрестности точки А все точки zn с номерами

n > N попадут в эту окрестность, а вне ее останется лишь конечное число точек zn .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Наличие предела А у последовательности {zn}

22

записывается в виде lim	zn = A или zn → A при n → ∞.
n→∞

Данное определение совпадает с определением предела последовательности действительных чисел.

Теорема 2.1. Для того чтобы последовательность

комплексных чисел zn

= xn +iyn

имела

предел

A = a +ib ,

необходимо и достаточно, чтобы последовательности {xn} и

{yn} имели предел, причем lim xn = a,

lim yn

= b .

n→∞

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть дано, что

lim zn = A .

n→∞

Надо доказать равенства lim

x

= a,

lim

y

n

= b . Заметим, что

n→∞

n

n→∞

z

n

− A

=

(x

−a)2 +( y

n

−b)2 .

(2.1)

n

Отсюда следует, что

xn −a

≤

zn − A

,

yn −b

≤

zn − A

.

(2.2)

Возьмем любое ε > 0 . Так как lim zn = A , то найдется такой

n→∞

номер N, что при n > N выполнено неравенство zn − A <ε . Из (2.2) вытекает, что

xn −a <ε , yn −b <ε при n > N.

По определению предела последовательности действительных

чисел

получаем

lim x

= a, lim

y

n

= b ,

что и

требовалось

доказать.

n→∞

n

n→∞

2. Достаточность.

Предположим

теперь,

что

lim x

= a, lim

y

n

= b ,

и

докажем,

что

lim z

n

= A = a +ib .

n→∞ n

n→∞

Возьмем любое ε

> 0. Так как lim x = a , то найдется такой

n→∞

n

номер N1 , что при n > N1

выполнено неравенство

x −a

<

ε

.

(2.3)

n

2

23

(мы пользуемся определением предела последовательности действительных чисел). Аналогично, из условия

lim yn = b следует существование такого номера N2 , что при

n→∞

n > N2

yn −b	<	ε	.	(2.4)

		2

Возьмем N = max{N1, N2}. Тогда при n > N будут выполняться оба неравенства (2.3), (2.4). Из равенства (4.1) получим

zn	− A	<	ε2	+	ε2	=ε при n > N.

			2		2

Итак, для любого ε > 0 найдется такой номер N, что при n > N выполнено неравенство zn − A <ε . Это и означает, что

lim zn = A . Теорема 2.1 доказана.

n→∞

Используя теорему 2.1 нетрудно показать, что сходящиеся последовательности комплексных чисел имеют те же свойства, что и сходящиеся последовательности действительных чисел:

lim (zn +ωn ) = lim

zn +lim

ωn ;

n→∞

lim (znωn ) = lim zn

lim ωn ;

(2.5)

n→∞

lim (

zn

) =

lim z

n

, если lim ω

≠ 0.

n→∞

n

n→∞ ωn

lim ωn

n→∞

Введенное выше понятие предела относилось к случаю,

когда

предел

A ≠ ∞ .

Рассмотрим

теперь

случай

последовательности, стремящиеся к бесконечности, т.е.

A = ∞.

Предел последовательности

{zn} равен

бесконечности

(записывается в

виде

lim zn = ∞), если для

любого

сколь

n→∞

такой номер N

угодно

большого

числа

R > 0

найдется

24

(зависящий от R), что при всех n > N выполняется неравенство zn > R .

Понятия бесконечно удаленной точки и ее окрестности, позволяют переформулировать это определение следующим образом:

lim zn = ∞, если для любой окрестности точки A = ∞ все

n→∞

точки zn с номерами n > N попадут в эту окрестность.

В таком виде определения конечного и бесконечного пределов аналогичны друг другу.

2.3. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность

Пусть D — некоторое множество комплексных чисел.

Однозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому каждому комплексному числу z из множества D соответствует единственное комплексное число ω .

Такое соответствие обозначается ω = f (z) , или f : z →ω . Множество D называется множеством (областью)

определения функции f		. Например, функция ω = z2	ставит в
соответствие	каждому	комплексному числу	z = x +iy
комплексное	число	ω = z2 = (x +iy)2 = x2 − y2 +2ixy; эта

функция определена на всей плоскости комплексного переменного z, а если положить f (∞) = ∞, то она будет

определена и на всей расширенной комплексной плоскости. Если обозначить z = x +iy , ω = u +iv , то задание функции

ω = f (z) комплексного переменного равносильно заданию на

том же множестве двух функций действительных переменных x, у, принимающих действительные значения: u = u(x, y) ,

v = v(x, y) . Например, для функции ω = z2 имеем u = x2 − y2 , v = 2xy .

25

Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Смотрите также: