Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

resi

= 0,01(7 +i), res−i f

= 0,01(7 −i) . Применяя формулу

(7.11), имеем

z −1

∫

(z)dz =

∫

dz = 2πi 0,01(7 +i +7 −i) = 0, 28πi .

+1)(z

+3)

Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной

плоскости

только изолированные особые точки, то вместо

вычисления суммы вычетов в конечных особых точках бывает проще найти вычет в бесконечно удаленной точке и воспользоваться теоремой 3.9 о сумме вычетов.

Пример 3.2. Вычислить интеграл			z	∫=2	dz	.
Пример 3.2. Вычислить интеграл					(z8 +1)2	.
Решение. Функция f (z) =		1			(z8 +1)2
		1		имеет восемь особых
	(z8	+1)2		имеет восемь особых
	(z8	+1)2

точек — решений уравнения z8 +1 = 0 . Каждая из этих точек zk является полюсом второго порядка, поскольку в окрестности

точки zk функция f(z) имеет вид f (z) =	h(z)	, где h(z)
	(z − zk )2

аналитична в окрестности точки zk. Все особые точки лежат внутри окружности z = 2 . Вычисление вычетов во всех этих

точках весьма трудоемко. Но к данной функции применима теорема 3.9, которая дает

res∞ f +∑reszk f = 0 . (7.21)

k =1

Поэтому достаточно найти вычет в точке z0 =∞ . Перейдем к

переменному w = 1/z. Подставляя z = 1/w, получим
	1		w16		16			16
G(w) = f		=			= w h(w) ,	где h(w) =		w
G(w) = f		=	8	2	= w h(w) ,			w
w			(1+ w )				(1	8	2 .
							(1	+ w )

Функция h(w) аналитична в окрестности точки w0 = 0. Поэтому

h(w) = b +b w +b w2			+..., откуда
0	1	2
G(w) = b w16		+b w17	+b w18	+....
	0	1	2

171

Значит, разложение Лорана функции f(z) в окрестности точки z0 = ∞ имеет вид

f (z) =

+... .

z16

-1

z17

z18

Так как коэффициент при z

равен нулю, то

res∞ f = 0 . Из

(7.11) и (7.21) получаем

= 2πi∑reszk f

= 0 .

∫=2 (z

+1)

k =1

2π

Вычисление

интегралов

вида

∫ R (cosϕ,sin ϕ)dϕ,

где R

– рациональная

функция от

cosϕ ,

sin ϕ. Такие

интегралы возникают в ряде приложений (например, при решении краевых задач). Они сводятся к интегралам, рассмотренным в предыдущем пункте, с помощью замены

переменного dz = eiϕ . Тогда dz = eiϕidϕ= zidϕ, откуда

idz

iϕ

−iϕ

dϕ=

= −

, cosϕ=

) =

z +

iϕ

−iϕ

sin ϕ=

−e

)

z −

(мы воспользовались формулами (4.2)). При изменении ϕот 0 до 2π точка z описывает окружность z =1. Поэтому после

перехода к переменному z мы получим интеграл по единичной окружности от функции, представимой в виде отношения двух многочленов; такие функции называются

рациональными дробями или дробно-рациональными функциями.

172

2π

dϕ

Пример

3.3. Вычислить

интеграл ∫

1−2a cosϕ+ a2

<1.

Решение. Выполняя указанные выше подстановки,

получим, что данный интеграл равен

∫

idz

= ∫

idz

−

(

z + a

)

−z

1−2a

z +

+ a

Разложим знаменатель на множители, для чего найдем

корни уравнения az2 −(a2 +1)z + a = 0. Дискриминант

D = (a2 +1)2 −4a2 = a4 + 2a2 +1−4a2 = a4 −2a2 +1= (a2 −1)2 ,

откуда

z =

+1+ (a2 −1)

= a,

+1−(a2 −1)

Поэтому

f (z) =

az2 −(a2 +1)z + a

a(z −a)(z −1 a)

Следовательно,

подынтегральная

функция

f (z) имеет

две особые

точки

z1 = a

z2 =1 a ,

каждая

из

которых

является полюсом первого порядка.

Так

как по

условию,

<1 то z1

лежит внутри окружности

=1 , а z2

- вне ее. По

теореме 7.1

∫

idz

= 2πi resa f

az2 −(a2 +1)z + a

Для вычисления вычета в точке z1 = a можно

воспользоваться любой из формул (7.5), (7.6). Применим, например, формулу (7.6). Здесь

173

ϕ(z) = i , ψ(z) = az2 −(a2 +1)z + a , ψ′(z) = 2az −(a2 +1) ,

resa f =

2aa −(a2 +1)

a2 −1

Таким образом,

2π

dϕ

2π

∫

= 2πi

1−2a cosϕ+ a2

a2 −1

1−a2

Вычисление

несобственных

интегралов. Пусть

f (x) —

функция, заданная на

всей

оси

ОХ. Рассмотрим

∞

вычисление

несобственных

интегралов

∫ f (x)dx ,

определяемых следующим образом:

−∞

∞

∫ f (x)dx = Rlim→∞∫ f (x)dx .

(7.22)

−∞

−R

Интеграл, определенный равенством (28.2), называется

несобственным интегралом в смысле главного значения. Если

∞

предел в (7.22) существует, то интеграл ∫ f (x)dx называется

−∞

сходящимся; если предел не существует, то расходящимся. Если сходится каждый из интегралов

∞	0	∞	R
∫ f (x)dx = Rlim→∞ ∫ f (x)dx и		∫ f (x)dx = Rlim→∞ ∫ f (x)dx
−∞	−R	0	0

(т.е. существуют оба соответствующих предела), то несобственный интеграл в (7.22) также сходится и равен сумме этих интегралов. Но обратное неверно: из сходимости

∞

интеграла ∫ f (x)dx в смысле главного значения (т.е. из

−∞

существования предела в (7.22)) не следует сходимость

174

∞

интегралов

∫ f (x)dx

и ∫ f (x)dx . Например,

интеграл

−∞

∞

xdx

∫

сходится в смысле главного значения и равен нулю

1+ x2

−∞

поскольку

xdx

∫

= 0 для любого R > 0 .

= 2 ln(1+ x )

−R

+ x2

−R

xdx

то

же

время

каждый из интегралов ∫

1+ x2

−∞

∞

xdx

∫

расходится.

1+ x2

Вычисление многих несобственных интегралов

∞

∫ f (x)dx

−∞

(в смысле главного значения) основывается на следующей теореме.

Теорема 3.4. Пусть функция f (x) , x (−∞,+∞) удовлетворяет следующим двум условиям:

1)функция f (z) , получаемая заменой x комплексным

переменным z имеет в комплексной плоскости ^ лишь изолированные особые точки, причем ни одна из них не лежит на оси OX ;

2)если γ(R) — полуокружность радиуса R с

центром в начале координат, лежащая в верхней (либо в нижней) полуплоскости, то

175

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)