Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

определяется как кратность полюса w0 = 0 функции G(z). Легко видеть, что кратность полюса совпадает с числом N в (7.8).

имеет в точке z0 = ∞ полюс порядка 3.

Теорема 7.6 о существенно особой точке переписывается для случая z0 = ∞ почти дословно, и мы не останавливаемся

на этом подробно.

7.2. Вычет функции в изолированной особой точке

Согласно теореме 2.1 (Коши), интеграл от аналитической функции f(z) по замкнутому контуру Г равен нулю, если Г лежит в области аналитичности функции f(z) и не содержит внутри себя особых точек функции f(z). Если же внутри контура Г имеются особые точки, то интеграл по Г от f(z) может быть отличным от нуля. Оказывается, значение этого интеграла зависит от поведения функции лишь в сколь угодно малых проколотых окрестностях особых точек внутри Г; точнее, зависят от интегралов по сколь угодно малым контурам, охватывающим особые точки. Нам понадобится следующее важное определение.

Пусть z0 — (конечная) изолированная особая точка функции f(z). Тогда f(z) аналитична в некоторой проколотой

окрестности V ={0 < z − z0 < R} точки z-. Возьмем замкнутый контур γ , лежащий в этой окрестности и охватывающий точку

положительном направлении (т.е. так, что внутренность контура с точкой z0 остается слева). Вычет обозначается resz0 f (от французского слова residu). Таким образом,

161

resz0 f = 21 i ∫ f (z)dz . (7.9)

π γ

Согласно свойству неизменяемости интеграла при деформации пути интегрирования (следствие 2.4), интеграл в (7.9) принимает одно и то же значение для всех контуров, охватывающих z0 и лежащих в V. В частности, в качестве γ

можно взять окружность z − z0 = ρ с центром z0 и достаточно малым радиусом ρ < R .

Теорема 7.1 (основная теорема о вычетах). Пусть Г —

замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z), и пусть f(z) аналитична во всех точках внутри Г, за исключением п изолированных особых точек z1, z2,…, zn. Тогда интеграл от f(z) по Г равен сумме вычетов в этих особых точках, умноженной на 2πi :

изолированные особые точки z1, z2, ..., zn (рис.7.1). Окружим

лась с другими окружностями. Функция f(z) аналитична в замкнутой (п + 1) - связной области D , ограниченной внешним контуром Г и внутренними контурами γ1 , γ2 , ..., γn (эта область получается, если из множества точек, лежащих на контуре Г и внутри него, вырезать круги z − zk < ρk ). По

теореме Коши для многосвязной области (см. теорему 4.2 и формулу (4.5))

162

Γk =1 γk

Всилу (7.9) для каждого интеграла в правой части (7.11)

справедливо равенство ∫ f (z)dz = 2πi reszk f . Подставляя эти

γk

равенства в (7.11), приходим к формуле (7.10), что нам и требовалось.

Теорема 7.2. Вычет функции f(z) в изолированной особой точке z0 равен коэффициенту c−1 при (z − z0 )−1 в

лорановском разложении (25.2) функции f(z) в проколотой окрестности точки z0:

Доказательство. Нужное равенство сразу следует из формулы (25.3) для коэффициентов сп лорановского разложения. Действительно, полагая в (7.11) п = - 1 и

обозначая γ ={ζ − z0 = ρ}, получим

(последнее равенство выполнено согласно (7.9)). Тем самым равенство (7.12) доказано.

Если z0 — устранимая особая точка, то лорановское разложение в проколотой окрестности этой точки состоит только из правильной части, а все коэффициенты главной части равны нулю. Отсюда и из теоремы 7.2 сразу следует, что

в устранимой особой точке вычет равен нулю.

Дадим теперь удобные формулы для вычисления вычета в полюсе. Рассмотрим вначале полюсы первого порядка; такие полюсы называются простыми.

Теорема 7.3. 1. Пусть z0 — полюс первого порядка функции f(z). Тогда

163

2. Пусть в проколотой окрестности точки z0 функция

(отсюда следует, что z0 — нуль первого порядка функции ψ(z) и, следовательно, полюс первого порядка функции f(z)).

Тогда

Доказательство. 1. Пусть z0 — полюс первого порядка. Согласно теореме 4.3, лорановское разложение функции f(z) в проколотой окрестности точки z0 имеет вид

Умножим обе части равенства на (z — z0):

∞

(z − z0 ) f (z) = c−1 +∑cn (z − z0 )n+1 .

n=0

Переходя к пределу при z → z0 и применяя равенство (7.4), получим

zlim(z z − z0 ) f (z) = c−1 = resz0 f ,

→ 0

что и требовалось.

2. Предположим теперь, что f (z) =ϕ(z)ψ(z) , причем функции ϕ(z) и ψ(z) удовлетворяют указанным выше условиям теоремы. Применяя (7.5), получим

и формула (7.6) доказана.

164

Теорема7.4. Пусть z0 — полюс порядка п > 1 функции f(z). Тогда

(т.е. вычет функции f(z) в точке zo равен пределу производной (п - 1) -го порядка функции (z - z0)nf(z), деленному на (п - 1)!).

Доказательство. Так как z0 — полюс порядка n, то лорановское разложение функции f(z) в проколотой окрестности точки z0 имеет вид

Умножим обе части равенства на (z - z0)n:

∞

(z − z0 )n f (z) = cn +... +c−1 (z − z0 )n−1 +∑ck (z − z0 )k +n .

k =0

Полученное равенство продифференцируем (n - 1) раз по переменному z. При этом (п - 1)-е производные всех слагаемых

со степенями, меньшими п - 1, обратятся в нуль. Отсюда

((z − z0 )n f (z))(n−1) =

откуда сразу следует нужная формула (7.15).

Для вычисления вычетов в существенно особых точках аналогичных формул не существует, и надо находить главные

Решение. В примере 4.5 мы установили, что данная функция имеет три особые точки z1 = i, z2 = −i, z3 = −3 , причем

165