Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Для точек z γ3 (R) имеем z = R(cosϕ+i sin ϕ) , dz = Rdϕ, 0 ≤ϕ≤π , и

eit z

eit R(cosϕ+isinϕ)

eit R cosϕe−t Rsinϕ

= e−t Rsinϕ .

Отсюда

∫ eitz F (z)dz

≤ ∫

eit z

F (z)

≤M (R)∫ e−t RsinϕRdϕ.

γ3(R)

Заметим, что ∫ e−t Rsinϕdϕ= ∫ e−t Rsinϕdϕ; этот факт легко дока-

0		π 2
зать, например, с помощью замены переменного α= π−ϕ .
Поэтому
		π 2
		π 2
	∫ eit z F (z)dz	≤2M (R)R∫ e−t sinϕdϕ.	(7.26)
	γ3(R)	0

На участке [0, π2] график синуса лежит выше отрезка прямой

y =

x ,

(0, 0)

соединяющий точки

этого графика.

Следовательно, sin ϕ≥

ϕ, ϕ 0, π

. Отсюда получаем

π 2

)

∫

−t Rsinϕ

∫

−t R2ϕ π

−t R 2ϕ π

−t R

dϕ≤

dϕ =−

1−e

2tR

(

Объединяя эту оценку с (7.26)

переходя

пределу

при

R →∞, имеем

181

γ3(R)

R→∞

∫

eit z F

( )

R→∞ t

(

)(

)

= 0

lim

≤ lim π M

1−e−t R

π 0

Таким образом, в случае a > 0 теорема доказана. Если a ≤0 ,

то дуга γ(R)	лежит	в полуплоскости Im z ≥0	и является
частью дуги	γ3 (R);	части γ1 (R) и γ2 (R) в	этом случае

отсутствуют. Для γ(R) справедливы рассуждения, проведенные выше для γ3 (R), и теорема 4.6 полностью доказана.

Смысл теоремы 4.6 состоит в том, что функция F (z) может стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 4.5 убывание функции f (z) при z →∞ было

достаточно быстрым	— как		z	−2 ). Но умножение на	eitz

обеспечивает стремление интеграла по γ(R) к нулю.
Замечание. Для	случая	t < 0 справедливо утверждение,
аналогичное теореме	4.6, если в качестве γ(R) взять				дугу

окружности z = R , лежащую в полуплоскости Im z ≤−a (на рис. 7.3 показана пунктиром). Доказательство в этом случае

аналогично приведенному					выше	для	t > 0 . В		случае t = 0
теорема 4.6 неверна.
Пример 4.7. Вычислить интегралы
			∞	x cos 2x		∞	x sin 2x
			∫		dx ,	∫		dx .
			∫	x2 +9	dx ,	∫	x2 +9	dx .
			−∞			−∞
Решение.			Возьмем		вспомогательную				функцию
f (z)=	zei 2 z
		. При z = x имеем
	z2 +9	. При z = x имеем

182

f (x)=	xei 2 x		x(cos 2x +i sin 2x)		x cos 2x	+i	x sin 2x
		=		=				.
	x2 +9		x2 +9		x2 +9		x2 +9

Таким образом, действительная и мнимая части функции f (x) и являются теми функциями, интегралы от которых нужно

∞	xei 2 x
найти. Поэтому если мы вычислим интеграл ∫		dx и
	x2 +9
−∞

возьмем от него действительную и мнимую части, то получим искомые величины.

	Функция F (z)=			z	удовлетворяет условиям теоремы
	Функция F (z)=		z2	+9	удовлетворяет условиям теоремы
4.6:	она имеет только две					особые	точки z1,2 = ±3i и
lim	z	= 0 . Если	γ(R)			— дуга	окружности	z	= R ,
	z

z→∞ z2 +9
z→∞ z2 +9

расположенная в полуплоскости Im z ≥0 , то согласно теореме

4.6

Rlim→∞ ∫

zei 2 z

dz = 0

z2 +9

γ(R)

(мы взяли в (28.5)

t = 2 ). Значит, можно применить теорему

∞

xei2 z

4.4, согласно

которой

интеграл

∫

равен сумме

x2 +9

−∞

вычетов функции

f (z)=

zei 2 z

в особых точках из верхней

z2 +9

полуплоскости

Im z > 0 ,

умноженной на

2πu .

полуплоскости

Im z > 0

лежит единственная

особая точка

z1 = 3i функции

f (z).

Так

как

f (z)=

zei 2 z

то

(z −3i)(z +3i)

z1 = 3i — полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно найти либо по формуле (7.5), либо по формуле (7.6).

183

Применим

(7.6).

Здесь

ψ(z)= z2 +9 , ψ′(z)= 2z ,

res

f =

3iei2 3i

−6

. Поэтому

2 3i

∞

xei 2 x

−6

∫

dx = 2πi

= iπe

x2 +9

−∞

Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми интегралами:

∞	x cos 2x			∞	x sin 2x		−6
∫		dx = 0	,	∫		dx = πe
∫	x2 +9	dx = 0	,	∫	x2 +9	dx = πe
−∞				−∞

(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной функции по интервалу, симметричному относительно начала координат.)

7.4. Логарифмический вычет и принцип аргумента

Рассмотрим многозначную функцию

L n f (z)= ln f (z) +i Arg f (z)= ln f (z) +i(arg f (z)+ 2πk),

k = 0,±1,±2,...

Во всех точках z , в которых f (z) аналитична и не обращается в нуль, Ln f (z) будет многозначной

аналитической функцией. Каждая ее ветвь, получаемая выбором конкретного значения k , является однозначной аналитической функцией в некоторой окрестности точки z . Эти ветви отличаются на постоянное слагаемое, и поэтому их

производные совпадают. Производная функции Ln f (z), равная

184

(Ln f (z))′ = f 1(z) f ′(z)= ff ′((zz)) ,

называется логарифмической производной функции f (z); она является однозначной аналитической функцией всюду, за исключением особых точек и нулей функции f (z). Вычет


функции	f ′(z) f (z)		(т.е.	вычет		логарифмической
производной		функции	f (z)	в точке z0 называется
логарифмическим вычетом функции					f (z) в точке z0 .
Теорема		4.1. Если z0		—	нуль	кратности	n
аналитической		функции	f (z),	то	логарифмический вычет
функции	f (z) в точке z0		равен n ; если z0			— полюс порядка
p , то логарифмический вычет равен −p .
Доказательство. Пусть z0				— нуль кратности n . Тогда
f (z) представима в виде			f (z) =(z −z0 )n ϕ(z) , где ϕ(z)				-
аналитическая функция в некоторой окрестности точки z0							и
ϕ(z0 ). Отсюда

f ′(z)= ((z −z0 )n ϕ(z))′ = n(z −z0 )n−1 ϕ(z)+(z −z0 )n ϕ′(z),

f ′(z)

n(z

−z0 )n−1 ϕ(z)+(z −z0 )n ϕ′(z)

ϕ′(z)

f (z)

(z −z0 )n ϕ(z)

z −z0

ϕ(z)

Так как

ϕ(z0 )≠0 , то функция ϕ′(z)

ϕ(z) является

аналитической

в некоторой окрестности

точки

z0 и,

185

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)