Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

следовательно, раскладывается в этой окрестности в ряд Тейлора:

коэффициент c−1 при (z −z0 )−1 равен n . Следовательно, (см. (7.4))

Отсюда и из определения вычета (27.1) получаем

что и требовалось доказать.

В следующих далее теоремах будет установлена связь между количеством нулей и полюсов функции f (z) внутри

области и поведением f (z) на границе области. При подсчете количества нулей и полюсов мы примем следующее

186

соглашение: каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.

Теорема 4.2 (теорема о логарифмическом вычете). Пусть

Γ — замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f (z). Пусть, далее, f (z) аналитична во всех точках

внутри Γ, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Γ ни нулей, ни полюсов. Тогда

внутри Γ, подсчитанных с учетом кратности; обход контура Γ предполагается таким, что точки, лежащие внутри Γ, остаются слева.

полюсов, то функция G(z) аналитична во всех точках контура Γ. Внутри Γ функция G(z) имеет лишь конечное число особых точек, являющихся нулями и полюсами функции f (z). Значит, к функции G(z) применима теорема 4.1 о

где ak , k =1, 2,...,l и bk , k =1, 2,..., m , - соответственно нули и полюсы функции G(z). В силу теоремы 4.1

187

где nk и pk — порядки нуля и полюса ak соответственно. Подсчитывая нули и полюсы с учетом кратности, получим

Подставляя эти равенства в (7.28), приходим к соотношению (7.27), что нам и требовалось.

Величина в левой части (7.27) называется логарифмическим вычетом функции f (z) относительно

контура Γ; этим и объясняется название теоремы 4.2. Мы покажем, что эта величина имеет геометрический смысл и, следовательно, теорема 4.2 выражает определенное геометрическое свойство отображения, осуществляемого

функцией ω = f (z).

Зафиксируем на Γ произвольную точку z0 (рис. 7.4, а). Ей соответствует точка ω0 = f (z0 ) плоскости переменного ω (рис. 51, б). Если точка z движется по Γ начиная от z0 , то соответствующая точка ω = f (z) будет описывать некоторую

188

них, чтобы при движении по C аргумент числа ω менялся непрерывно. Это значение аргумента обозначим ϕ(ω) . При

возвращении в ω0 после обхода пути C значение ϕ(ω) будет приближаться к некоторому числу ϕ(ω0 ), которое не обязано совпадать с исходным значением arg ω0 . Таким образом, при

очевидно, равно числу оборотов вокруг точки ω = 0 , которое сделает вектор ω при обходе точкой ω пути C , умноженному на 2π (при каждом обороте аргумент изменяется на 2π). На рис. 7.4, б число оборотов равно 2.

функции f (z). Пусть, далее, f (z) аналитична во всех точках

внутри Γ, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Γ ни нулей, ни полюсов. Тогда приращение

аргумента числа ω = f (z) при обходе точкой z контура Γ равно 2π(N −P):

189

где N и Р — число нулей и полюсов функции f (z) внутри Γ, взятых с учетом кратности. Другими словами, число оборотов вектора f (z), сделанных им при обходе точкой z контура Γ, равно N −P .

Доказательство. Пусть, как и выше, ϕ(ω) — непрерывно изменяющийся аргумент числа ω . Рассмотрим функцию Φ(z)= ln f (z) +iϕ( f (z)). В окрестности каждой точки z Γ

функция Φ(z) совпадает с одной из ветвей многозначной аналитической функции

Ln f (z)= ln f (z) +i(arg f (z)+ 2πk). Поэтому Φ′(z)=(Ln f (z))′ = ff′((zz)) .

Следовательно, непрерывная на Γ функция Φ(z) является

непрерывной функцией на Γ, то при возвращении точки z в z0 этот логарифм примет начальное значение ln f (z0 ) и его

190