Материал: 01431
2.4. Интегрирование по частям
В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид
где 
означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.
Пример. Вычислить интеграл |
. |
Решение
Запишем интеграл в виде
Используем интегрирование по частям: 
.
В нашем случае пусть будет
Следовательно, интеграл равен
2.5. Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рис. 2.2), определяется по формуле
21
Рис. 2.2 |
Рис. 2.3 |
Пусть F (x) и G (x) ‒ первообразные функций f (x) и g (x) соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рис. 2.3), определяется формулой
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и
.
Решение
Сначала определим точки пересечения двух кривых (рис. 2.4).
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
.
22
Решение
Найдем координаты точек пересечения кривых (рис. 2.5).
Рис. 2.4 |
Рис. 2.5 |
Данная область ограничивается сверху параболой 
, а снизу ‒ прямой линией 
. Следовательно, площадь этой области равна
2.6. Вычисление объёма тела вращения
Вычисление объёма тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси 
.
Пример. Вычислить объём тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси 
.
Решение
Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости 
необходимо по-
23
строить фигуру, ограниченную линиями 
, 
, при этом не забываем, что уравнение 
задаёт ось 
. Чертёж здесь довольно прост (рис. 2.6).
Искомая плоская фигура заштрихована, именно она и вращается вокруг оси 
. В результате вращения получается такая немного яйцевидная «летающая тарелка», которая симметрична относительно оси 
.
Как вычислить объём тела враще-
ния?
|
Объём тела вращения можно вы- |
|
Рис. 2.6 |
числить по формуле |
. |
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число π. Как расставить пределы интегрирования «а» и «б», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж (см. рис. 2.6). Плоская фигура ограничена графиком параболы 
сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.
В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси 
. Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат: 
, таким образом интеграл всегда неотрицателен, что весьма логично.
Вычислим объём тела вращения, используя данную формулу:
Ответ: 
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы 
. То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д.
24
Контрольные вопросы |
|
|
1. |
Назовите задачи, приводящие к определённому интегралу. |
|
2. |
Напишите интегральную сумму для функции y f x |
на отрезке |
a; b . |
|
|
3. Что называется определённым интегралом от функции |
y f x на |
|
|
отрезке a; b ? |
|
4.Каков геометрический смысл определённого интеграла?
5.Перечислите свойства определённого интеграла.
6.Чему равна производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?
7.Напишите формулу Ньютона – Лейбница.
8.Напишите формулу замены переменной в определённом интеграле.
a |
|
9. Чему равен интеграл f x dx , если |
y f x есть чётная функ- |
a |
|
ция, нечётная функция? |
|
10.Напишите формулу интегрирования по частям в определённом интеграле.
11.Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат с помощью определённого интеграла?
12.Напишите формулу для вычисления объёмов тел, образованных вращением плоской фигуры вокруг оси Ох.
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнением с разделенными переменными называется диффе-
ренциальное уравнение вида
f(x)dx + g(y)dy = 0
с непрерывными функциями f(х) и g(y). Равенство
где C ‒ произвольная постоянная, определяет общий интеграл урав-
нения с разделёнными переменными.
Начальное условие для уравнения f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x0) = y0 или x(y0) = x0.
25