Материал: 01431

1.6. О «неберущихся» интегралах

Выше говорилось, что если и выполняются условия существования первообразной, то не всегда она может быть найдена как конечная комбинация элементарных функций. Соответствующий интеграл можно рассматривать как новую неэлементарную функцию. Такие функции часто носят название специальных, многие из них хорошо изучены (и табулированы). Например, та из первообразных

е х 2 dx C , которая обращается в нуль при х = 0, называется функцией Гаусса и обозначается Ф(х), т.е. Ф(х) = е х 2 dx C, если Ф(0) = 0.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.

2.Что называется неопределённым интегралом? Каков его геометрический смысл и основные свойства?

3.Постройте кривые семейства y xdx , проходящие через точки М1(2,1), М2(2,2), М3(2,3).

4.Каковы основные методы интегрирования функций?

5.Выведите формулу интегрирования по частям.

6.Укажите некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

7.Что называется дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)?

8.Назовите четыре типа правильных рациональных дробей.

9.Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го типов?

10.Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 3-го и 4-го типов?

11.Как найти интегралы вида sin m x cos n xdx , если: а) хотя бы один из показателей m или n – нечётное положительное число; б) оба показателя m и n – чётные положительные числа?

13.Как найти интегралы вида R(sin x, cos x)dx , где R – рациональная функция?

где R – рациональная функция, а mi, ni – целые числа?

16

R x, a2 x2 dx ?

18.Приведите примеры «неберущихся» интегралов.

19.Какая функция называется функцией Гаусса, как она определяется?

Глава 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Понятие определённого интеграла. Свойства

(рис. 2.1). Для определённости и простоты считаем, что функция по-

внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечной площади .

Разобьём отрезок на частей следующими точками:

Рис. 2.1

17

В результате получено частичных промежутков

с длинами соответственно. В общем случае длины различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .

Примечание 1. последняя запись читается как «максимальное значение из множества (набора) ».

В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки .

Примечание 2. («кси») – 14-я буква греческого алфавита.

Рассмотрим i-й промежуток . Его длина, очевидно, равна (обоюдоострая линия). Значению аргумента соответствует значение функции , и произведение в точности равно площади соответствующего прямоугольника.

Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади ступенчатой фигуры:

.

Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто за-

писывают в свёрнутом виде: .

Примечание 3. ∑– это значок суммы, а переменная – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец, .

Что означает прилагательное «интегральная»? В широком смысле слова, интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма объединяет площади прямоугольников и с некоторой точностью приближает площадь криволинейной трапеции: .

Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков растёт, а их длины – уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек

тоже возрастает, и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.

18

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

.

Врезультате площадь криволинейной трапеции S =

.

Свойства определённого интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) ‒ непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1. ;

2.

где k ‒ константа;

4.

5. Если для всех , то ; 6. ;

7. ;

8. Если в интервале [a, b], то

19

2.2. Формула Ньютона ‒ Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) ‒ первообразная функции f (x) на [a, b], то

Пример. Вычислить интеграл .

Решение

Применяя формулу Ньютона ‒ Лейбница, получаем

2.3. Замена переменной

Определенный интеграл по переменной x можно преоб-

разовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ‒1 ‒ обратная функция к g, т.е. t = g ‒1(x).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

20