Материал: 01431

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называ-

емое характеристическое уравнение

.

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:

‒вместо второй производной записываем ;

‒вместо первой производной записываем просто «лямбду»;

‒вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

1. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня.

Если характеристическое уравнение имеет два раз-

личных действительных корня , (т.е. если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:

,

, .

Получены два различных действительных корня. Всё, что осталось сделать, – записать ответ, руководствуясь формулой .

Ответ: общее решение .

2. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня.

31

3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где и – константы, а – функ-

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий.

1. Сначала нужно найти общее решение соответствующего од-

дача уже была подробно разобрана ранее. Общее решение однородного уравнения будем обозначать буквой .

2. Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1.

2.

где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m соответственно.

Вобоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

Вслучае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает

скорнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель xs, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.

33

В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

3.На третьем этапе надо составить общее решение неодно-

родного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно, следует их просто приплюсовать.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап.

4.Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение

1. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наше неоднородное дифференциальное уравнение и обнуляем правую часть: .

Составим и решим характеристическое уравнение

– получены различные действительные корни, по-

этому общее решение .

2. Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения .

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё не известные коэффициенты (числа). Смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. Приходим к выводу, что, да, действительно, частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде: .

34

Найдём первую и вторую производные: ,

.

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения

1. Выполняем подстановку и .

2. Раскрываем скобки.

3. После максимальных упрощений ставим знак равенства и приписываем нашу правую часть .

Далее работаем с последним равенством: необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще рекомендуется предварительно сгруппиро-

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.

35