Материал: 2
Определение 40.1 . Уравнение (40.2) называется каноническим уравнением прямой в пространстве.
40.3 Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Обозначим величину, стоящую в равенстве (40.2), за t. Получим уравнение
(40.3)
Выразим x, y, z в (40.3) через t
t – параметр.
(40.4)
Если параметр t принять
за время, то уравнение (40.4) будет задавать
равномерное движение точки M(x,y,z)
по прямой
со скоростью
Определение 40.2. Уравнение (40.4) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.
§41. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду
Пусть задано общее уравнение прямой
:
Условие (40.1) легко можно переписать в виде
(41.1)
При этом прямая
=
,
а плоскость
и
имеют нормали
,
Чтобы общее уравнение прямой привести к каноническому, нужно:
Найти одну из точек на прямой
Для этого надо выбрать в левой
части неравенства (41.1) ненулевой
определитель (например,
)
и положить в (37.3) переменную, которая не
соответствует выбранному определителю
(в нашем случае – z) нулю
или какому-либо иному числу. Тогда
система (37.3) станет системой с ненулевым
определителем (в нашем случае
),
и, следовательно, она будет иметь
решение. Присоединив к этому решению
ранее выбранную величину (z),
получим координаты одной из точек на
прямой линии
.
2) Найти направляющий вектор прямой .
Так как
и
(
),
а
,
и
,
то и
,
.
А так как вектор
также
,
и
,
то (см. задачу в п.29.1)
и поэтому
Следовательно, направляющим вектором
прямой
можно положить
Пример: привести к каноническому
виду
Решение: 1. х=0:
;
2. Направляющий вектор
;
3. Уравнение прямой:
§42. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
Дано
Каноническое уравнение этой прямой
имеет вид:
;
(42.1)
а её параметрическое уравнение:
(42.2)
Читателю предлагается самостоятельно
проверить, что координаты точек
и
удовлетворяют как уравнению(42.1), так и
уравнению (42.2), при этом точек
в (42.2) соответствует значение t=0
, а точке
- t=1. Эта прямая единственна
как прямая, проходящая через две заданные
точки.
§43. Условия параллельности, перпендикулярности, компланарности прямых
4 3.1 Взаимное расположение двух прямых в пространстве
,
,
,
,
Рассмотрим матрицы
рис.43.1
;
Возможные случаи взаимного расположения двух прямых:
r(А)=r(В)=1
(43.1)
r(А)=1, r(В)=2
(43.2) (см. рис 43.1)
r(А)=r(В)=2
(43.3)
,
т.е. вектора
,
и
компланарны и не выполняются случаи
1)и 2)
пересекает
в единственной точке, ибо случаи 1) и
2) исключают условие (43.3). В частности
detB=0
и
лежат в одной плоскости.
detB≠0 или r(А)=2, r(В)=3 и находятся в разных плоскостях или скрещиваются. (43.4)
43.2 Угол между прямыми
Угол между двумя прямыми
и
можно найти как угол между их направляющими
векторами
и
,
которые, согласно равенству (24.11) (см.§24),
можно найти по формуле:
(43.5)
43.3 Условие ортогональности и перпендикулярности прямых
.
Для перпендикулярности прямых
и
(
и
)
к последнему условию надо добавить
также равенство (43.3).
§44. Прямая и плоскость
44.1 Взаимное расположение прямой и плоскости
Дано:
прямая
,
,
(
-направляющий
вектор прямой
,
а
-
одна из её точек)
:
,
(
-
нормаль к плоскости
)
рис 44.1
Возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости
(т.е.
,или
;)
(44.1)
;
(44.2)
(есть одна точка)
(44.3)
44.2 Угол между прямой и плоскостью. Условие их перпендикулярности
Заметим, что
(см. рис. 44.2) Поэтому (см. формулу (24.11))
