Материал: 2
;
,
– её вектор нормали
Тогда уравнение такой плоскости было
получено в §36, и оно имеет вид:
(36.3)
38.2 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и коллинеарной двум заданным неколлинеарным векторам
вектора
,
,
и
компланарные, т.е
.
Тогда из §28 (формулы(28.1))имеем:
рис.38.1
38.3 Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки и коллинеарной заданному ненулевому вектору
Дано:
Тогда векторы
(М (x,y,z)-
произвольная точка на плоскости
)
компланарны,
т.е.
,
и
(см.параграф 28)
(38.3)
38.4Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
.
Это уравнение имеет вид:
(38.4)
Читателю непосредственно предлагаем
проверить, что координаты точек
удовлетворяют
линейному уравнению (38.4), и поэтому
плоскость, заданная уравнением (38.4),
искомая(и единственная как плоскость,
проходящая через три заданные точки).
38.5 Уравнение плоскости в отрезках
В §36 (36.2) было показано, что уравнение плоскости, не параллельной ни одной из координатных осей и не проходящей через начало координат, можно свести к виду:
z
c
(36.6)
y
b
a
x рис.38.2
Положим что y=z=0, получим :
x=a, т.е. точка оси ОХ с координатами (a,0,0) лежит на плоскости. Аналогично
§39. Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана плоскость
:
и точка
.
Расстояние от точки
до плоскости
вычисляется
по формуле (эта формула доказывается в
параграфе 44)
(39.1)
Пусть
,
,
,
тогда нормальное уравнение плоскости:
,
(39.2)
г
де
.
П
,
тогда
Отклонение точки
от
плоскости
находится как:
,
где
и
–
начало координат.
получим , что точки с координатами
(0,b,0) и (0,0,c)
так же находятся на плоскости( см.
рис.38.2). Тогда a,b
и с (точнее
)
это длины отрезков, отсекаемых нашей
плокостью от координатного тетраэдра.(см.
рис 38.2).
Определение 38.1. Поэтому равенство (36.6) называется уравнением плоскости « в отрезках»
Если
и
находятся по разные стороны от плоскости,
то отклонение равно «
»,
если
и
находятся по одну сторону от плоскости,
то отклонение равно «
».
§40. Прямая как пересечение двух плоскостей.
Общее уравнение прямой в пространстве
40.1 Общее уравнение прямой в пространстве
Как уже сообщалось в параграфе 37, система уравнений (37.3) с условием r(β)=2 задаёт в пространстве прямую линию поэтому система
– общее уравнение прямой
в пространстве, где
(40.1)
:
,
:
,
.
40.2 Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору
Дано:
р
ис
40.1
,
Пусть M(x,y,z)
– точка прямой L
Тогда
,
т.е. имеет место
уравнение:
(40.2)
При этом даже может и быть, например,
(
=0,
=0).
означает в (40.2), что
.
Исключено лишь
,
ибо
