Материал: 4166
где c – потребление домохозяйства определенной структуры, y – доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелированы, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 ед в 2 раза больше, чем при доходе до 50 ед. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:
|
30 |
35 |
35 |
45 |
50 |
60 |
70 |
90 |
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
30 |
35 |
35 |
40 |
50 |
70 |
80 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется.
1.Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.
2.Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.
3.Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.
Задание 7
Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:
, (3.2)
где – потребление;
–заработная плата;
–дивиденды домохозяйства j в период t.
Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии 
и 
должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении
, а есть только совокупное потребление всех
домохозяйств, т. е.
.
Требуется.
1.Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели 
.
2.Показать, что это уравнение является моделью с чистой гетероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки
известная с точностью до 
.
3. Определить оценки параметров и .
Задание 8
Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:
,(3.4)
21
где 
– потребление домохозяйства j в период t;
–индекс цен в период t;
–число членов и 
– доход домохозяйства j в период t.
Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии 
, 
, 
и 
должны
оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.
.
Требуется.
1.Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели 
на основе всех имеющихся данных.
2.Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.
3.Определить вектор оценок параметров 
.
Задание 9
Для линейного однофакторного уравнения регрессии
имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.3.
Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.
Таблица 3.3
|
5,5 |
8,5 |
20,1 |
24,5 |
17,0 |
22,0 |
19,0 |
16,0 |
5,0 |
13,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
10,0 |
18,5 |
20,0 |
18,5 |
25,0 |
8,5 |
13,0 |
7,4 |
15,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
6,1 |
22,2 |
20,1 |
8,0 |
12,0 |
14,0 |
19,5 |
18,0 |
15,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,5 |
5,2 |
18,5 |
18,0 |
8,0 |
9,8 |
12,0 |
14,8 |
15,2 |
12,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется.
1. Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для 
=5, для 
=10 и для 
=15 наблюдений при уровне
значимости =0,05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.
2. Для уровня значимости 
=0,05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.
Задание 10
Имеется линейное уравнение множественной регрессии
22
для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр 
известен. Для оценивания параметров 
, 
,..., 
предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть t–1-e уравнение, умноженное на 
, t=1,...,Т, т. е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.
Требуется.
1. Определить матрицу преобразований 
, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.
2.Определить ― «оптимальные» оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.
3.Определить ― «оптимальные» оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.
Задание 11
Для линейного однофакторного уравнения регрессии
имеется T=12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл.
|
5,0 |
2,5 |
1,8 |
6,8 |
9,0 |
3,8 |
6,5 |
9,0 |
1,0 |
3,5 |
7,1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,0 |
4,8 |
3,1 |
8,2 |
8,6 |
5,5 |
6,5 |
11,1 |
2,1 |
4,5 |
8,9 |
11,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для ошибки уравнения 
выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями 
и
.
Требуется. |
|
|
1. Оценить параметры уравнения |
и |
с помощью обобщенного МНК. |
2. Оценить параметры уравнения |
и |
с помощью модифицированного |
уравнения из задачи 10.
3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценивания из п. 2 по сравнению с ― «оптимальными» оценками из п. 1.
Задание 12
Для линейного однофакторного уравнения регрессии
имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл.
|
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,45 |
0,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,019 |
0,019 |
0,027 |
0,051 |
0,093 |
0,136 |
0,171 |
0,198 |
0,297 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,55 |
0,60 |
0,65 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,314 |
0,365 |
0,396 |
0,482 |
0,569 |
0,627 |
0,710 |
9,835 |
0,913 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
Для ошибки уравнения 
выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка.
Требуется.
1.Определить оценку r параметра авторегрессии ошибки.
2.Определить с использованием полученной в п. 1 оценки параметра
авторегрессии первый вектор оценок параметров 
и 
.
3. Рассчитать с использованием полученного в п.2 результата новую оценку 
и определить с ее помощью новый вектор оценок обоих параметров регрессии.
4. Определить следующую оценку 
и сравнить оценки r, 
и 
друг с другом.
3.3 Рекомендуемая литература по изучению темы дисциплины из списка: 1, 2, 3.
Форма контроля практической работы – индивидуальное задание, эссе.
Модуль 2. Эконометрические модели Тема 4. . Модели с коррелирующими факторами
4.1. Вопросы для самостоятельного изучения темы:
Вопрос 1. Опишите процедуру оценки параметров экономерической модели с помощью рекуррентных методов?
Вопрос 2. В чем метода главных компонент?
Вопрос 3. Каковы проблемы использования моделей с главными компонентами?
Вопрос 4. В чем суть метода Ширли Алмон?
4.2. Практические задания для выполнения самостоятельной работы студентов
4.2.1 Решение типовых задач Задание 1
Для линейного трехфакторного уравнения регрессии
yt= α0 + α1x1t + α2x2t +α3х3t + ɛt (t =1,…,Т)
имеются данные из таблицы 4.2.
x1t |
10,3 |
14,6 |
11,4 |
17,1 |
10,6 |
x2t |
20,8 |
28,0 |
23,0 |
30,5 |
21,7 |
x3t |
4,1 |
20,3 |
9,8 |
8,1 |
17,7 |
yt |
40,0 |
80,0 |
55,0 |
58,0 |
70,0 |
24
Требуется.
1.Оценить уравнение с помощью метода главных компонент, если известно ,что первые две главные компоненты учитывают 98,97% изменчивости матрицы факторов и формируются следующим образом:
Z=X*b=X*
.
1.Построить точечный прогноз математического ожидания целевой
переменной y0 для значений экзогенных переменных (х10,х20, х30)' =(8,0; 16,0; 6,0)'.
Решение.
1.Определим матрицу главных компонент
Z= 
Оценки параметров рассчитываются следующим образом:
c= (Z'Z)-1 *Z'* y= 
Главные компоненты, соответствующие заданным значениям факторов,- z1= 8*0,126867 + 16* 0,233389 + 6* 0,964071= 10,53359;
z2= 8*0,56329 + 16* 0,783052+ 6*(-0,26369)= 15,453. 2. Прогнозное значение целевой переменной-
^y0= 14,95867 +2,202281*10,53359+0,163657*15,453=40,69.
4.2.2 Задачи для самостоятельной работы Задание 2
Имеется линейное двухфакторное уравнение регрессии
yt= α0 + α1x1t + α2x2t + ɛt (t =1,…,Т).
Требуется.
1.Рассмотреть в общем виде трендовое выравнивание как метод устранения коллинеарности.
25