Материал: 4571

6

исследуемая величина (величины) «y» зависит от многих факторов x1, x2,..., то есть задача отыскания математической модели

y f x1 , x2 ,...,xn .

Традиционный подход в определении вида модели заключался в проведении однофакторных экспериментов по определению сначала частных зависимостей y1 f1 x1 , y2 f 2 x2 , ... yn f n xn , когда меняется поочередно один фактор, а остальные фиксируются, а затем уже происходит обобщение математической модели.

Однако с ростом числа факторов и их уровней варьирования катастрофически возрастает число необходимых опытов. Это возрастание получило образное название «проклятия размерностей» [2]. Полное количество опытов определяется по формуле

n qk ,

где q – число уровней варьирования каждого фактора; k – количество факторов.

несколько десятилетий. Другой пример – на установление закона равноускоренного движения S=at2/2. Галилей затратил более 25 лет своей жизни.

Проход через «проклятие размерностей» указал Рональд Фишер, английский статистик в 1925-1929 гг. Он предложил одновременно варьировать все факторы.

Однако этот подход не был задействован до начала 60-х годов прошлого века. Лишь в это время возникла настойчивая необходимость уменьшения затрат времени на проведение исследований. С этого момента теория планирования эксперимента (ТПЭ) начала и продолжает бурно развиваться до настоящего времени.

Анализ априорной информации

7

Перед тем, как проводить экспериментальные исследования, необходимо выявить всю имеющуюся и накопленную человечеством информацию по существу изучаемого вопроса.

Частично эта задача формализуется, а именно, большую часть информации можно выявить из информационных литературных и патентных исследований.

Однако большая часть работы по выявлению априорной (имеющейся до опыта) информации является «скрытой» от исследователя, и здесь необходимо «догадаться» использовать те или иные сведения, подчас из других областей знаний.

В ТПЭ все принимаемые решения, основанные на догадках, аналогиях, ассоциациях, различных косвенных соображениях, наводящих на мысль,

называются эвристическими [3].

Если для принятия решения нет никаких данных, и его приходится принимать на собственный страх и риск, то его называют волевым. Эти понятия являются в значительной степени субъективными, зависящими от таланта исследователя.

Важнейшими задачами при анализе априорной информации являются: а) выбор влияющих факторов и их интервалов варьирования; б) выбор вида математической модели.

При выборе влияющих факторов часто используется метод экспертных оценок (ранжирования), заключающийся в том, что различные специалисты после опроса оценивают по шкале значимости, по их мнению, существенные факторы. После анализа такой информации выбираются наиболее значимые факторы.

В качестве математической модели чаще всего используют аддитивную

(линейную) и мультипликативную модели:

или

yˆ b0 x1b1 x2b2 ...xkbk ,

где хi – факторы регрессионной модели, bi – коэффициенты регрессии, y – значение функции (отклик). Последняя модель после логарифмирования легко преобразуется в аддитивную модель.

Следует отметить, что большая часть физических явлений описывается мультипликативными моделями.

Таким образом, на этапе анализа априорной информации проводится выбор вида математической модели, выбор влияющих факторов и их интервалов

8

варьирования. Эти процедуры являются неформализуемыми, субъективными и сильно зависящими от таланта исследователя этапами работы.

Планирование эксперимента, его проведение и статистическая обработка

Вотличие от предыдущего следующие этапы хорошо разработаны для моделей 1-го и 2-го порядков. Этот этап является хорошо формализуемым, то есть для его проведения существуют методики, правила поведения и рекомендации для экспериментатора в тех или иных случаях. Для этого этапа имеются алгоритмы и пакеты прикладных программ. Построение планов эксперимента первого и второго порядка рассматриваются далее в этом разделе.

Вслучае использования аддитивной модели последующими этапами являются

[4]:

1) Составление матрицы планирования.

2) Проведение эксперимента согласно матрице плана эксперимента.

3) Статистическая обработка результатов эксперимента:

a)Поиск коэффициентов регрессии с использованием метода наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в нахождении коэффициентов регрессии, обеспечивающие минимум функции:

n 1

где yn , yˆ n – соответственно экспериментальные значения отклика и рассчитанные по регрессионной модели.

Для линейчатой модели

коэффициенты регрессии определяются по формулам:

где N – количество проведенных опытов;

n – порядковый номер опыта.

10

Рекомендации по выбору средств измерений

Повышение точности эксперимента и степени адекватности его модели может быть достигнуто не только использованием методики ТПЭ и увеличения числа повторных опытов, но и за счет использования более точной аппаратуры СИ. Однако здесь надо исходить из понятия эффективности эксперимента как отношения достигнутого эффекта к затратам при проведении эксперимента [3].

Разброс исходных данных ИД всегда складывается из 3-х составляющих: 0

– диффузности объекта измерения (невоспроизводимости или среднеквадратического отклонения воспроизводимости), М – погрешности адекватности модели и С.И . – погрешности средств измерений.

Если эти погрешности некоррелированы (статистически независимы), то

ИД 20 2М 2С.И . .

Задача состоит в рациональном выборе средств измерений с точки зрения их точности. Для простоты рассуждений примем, что М С.И. и М 0 . Тогда возможны три случая:

a) Очень точная аппаратура С.И . 0 . При этом ИД 20 2С.И . 0

и разброс полностью определяется диффузностью (нестабильностью параметнов) объекта. Это плохо, т.к. для усреднения результата надо провести большое число опытов, но излишне точная аппаратура требует и большего времени измерений.

эффективность статистической обработки сильно возрастает с увеличением n . Однако надо помнить, что систематические погрешности ( М и часть С.И . ) не уменьшаются.

c) При С.И . 0 ИД 2С.И . 20 С.И . . Если порядок ИД устраивает экспериментатора, то нет необходимости в организации многократных измерений и их статистическом усреднении.