Материал: 4571

16

Ротатабелный план - это план, обеспечивающий равноточность исследования по всем направлениям пространства факторов.

А - оптимальный план - это план, обеспечивающий минимальное значение средней дисперсии оценок параметров модели.

Д - оптимальный план – обеспечивает минимальный объем эллипсоида рассеяния оценок параметра.

G - оптимальный план минимизирует максимальные значения дисперсии предсказываемых моделью значений параметра оптимизации. Для G -оптимальных планов в области планирования эксперимента не окажется точек, в которых точность предсказания значений параметра оптимизации будет хуже, чем в точках плана эксперимента.

Всем этим критериям удовлетворяют полные факторные планы (ПФП) и дробные факторные планы (ДФП).

ПФП – план, содержащий все возможные комбинации всех факторов на определенном числе уровней равное число раз.

ДФП – план, содержащий часть комбинаций ПФП.

План эксперимента первого порядка - план с двумя или более уровнями факторов, позволяющий найти раздельные оценки параметров регрессионной модели первого порядка (полинома первого порядка).

Наиболее простыми, но тем не менее достаточно эффективными, являются двухуровневые планы, в которых каждый фактор может находиться только на двух уровнях: верхнем и нижнем.

Двухуровневый ПФП содержит общее количество опытов, выражаемое формулой:

где к – количество факторов.

Этот план пригоден для построения линейчатых моделей вида:

Количество неизвестных коэффициентов этого уравнения регрессии также определяется по формуле (8). Следовательно, двухуровневый ПФП может быть использован для нахождения всех коэффициентов уравнения (9).

18

Нетрудно увидеть, что при x=xmin, Xmin= –1; при x=x0, X0=0; при x=xmax, – Xmax=1.Следовательно, в таблицах активного эксперимента используются уровни –1 ,0 , +1, в которых цифру "1" опускают.

Рассмотрим пример, когда количество факторов к=3. В этом случае Non 23 8 , а план эксперимента имеет вид, представленный в табл. 3 [4].

Строки плана представляют собой условия проведения опытов при соответствующих фиксированных значениях уровней факторов Х1, Х2, Х3.

В таблицу вводится столбец Х 0, который всегда равен +1.Это так называемый постоянный фактор, который является сомножителем свободного члена уравнения регрессии (y=b0∙X0+…), где Х0=1.

Правило заполнения столбцов ПФП

Заполнение начинают с левого столбца (X1) сверху вниз чередованием знаков "+" и "–". Следующий столбец заполняют чередованием по 2 знака "+" и "–". Третий столбец – по 4 знака "–" и 4 знака “+” Затем (если бы у нас была n-факторная модель) по 8 знаков "–" и 8 знаков "+", затем по 16 и т.д. Столбец yi – отклик.

Данный ПФП имеет избыточность, равную 23–(3+1)=4. Поэтому для нахождения параметров достаточно использовать половину из опытов ПФП.

Правило заполнения столбцов ДФП

данной строки (в данном случае X3= X2∙∙X1).

ДФП называют также дробной репликой ПФП.

Если дробление ПФП производится многократным последовательным делением числа его опытов на 2, то реплика называется регулярной. Число раз "р"

19

такого последовательного деления называется дробностью реплики. При Р =1 ДФП называют полурепликой, при Р =2 –четвертьрепликой, при Р =3 – 1/8 реплики, при Р =4 – 1/16 реплики и т.д.

Методика построения плана эксперимента второго порядка

Как указывалось ранее, уравнение регрессии 1-го порядка зачастую не является адекватным и для обеспечения адекватности модели к исходному уравнению 1-го порядка добавляют члены со сменными произведениями факторов, типа bi j xi x j , bij xi x j xn и т.д., где bi j , bijn – коэффициенты регрессии смешанных произведений факторов xi , x j , xk и т.д.

Для нахождения этих коэффициентов регрессии используется избыточные опыты того же плана эксперимента 1-го порядка, который использовался в случае уравнения 1-го порядка.

Однако практика показывает, что во многих случаях такое добавление членов

k

смешенных произведений факторов к правой части линейной модели y b0 bi xi

i 1

и не приводит к желаемому результату обеспечения адекватности модели. В этом случае либо уменьшают интервалы варьирования одного из факторов (или, может быть, всех факторов), либо переходят к моделям 2-го, затем 3-го и т.д. порядков, в которые вводят члены, содержащие факторы во 2-й, 3-й и т.д. степенях.

Рассмотрим построение оптимального плана эксперимента 2-го порядка на примере двухфакторной модели:

20

Функция отклика у этой модели представляет собой поверхность 2-го порядка: цилиндр, конус, эллипсоид, параболоид, гиперболоид, параболический цилиндр, параболический гиперболоид или сферу.

Сечения этой поверхности, параллельные каждой из осей X1 и X2, в общем случае представляют собой кривые также второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы). Известно, что для однозначного определения такой кривой необходимо располагать координатами не менее 3-х ее точек, т.е. факторы X1 и X2 должны варьироваться не менее чем на 3-х уровнях.

Для удовлетворения этого требования план эксперимента 2-го порядка помимо опытов плана эксперимента 1-го порядка, называемого ядром плана 2-го порядка, должен включать опыты в звездных точках и в центре плана [4]

Центром плана, или центральной точкой плана, называется точка плана соответствующая нулевым нормализованным безразмерным координатам факторов.

Звездной точкой плана эксперимента 2-го порядка называется точка, лежащая на координатной оси факторного пространства.

Звездная точка удалена от центральной точки на расстояние звездного плеча. Для центральных композиционных ротатабельных планов звездное плечо

2 4 2 .