Материал: 4751
1. Методические рекомендации по решению задач с применением функций сложного процента (временная оценка денежных потоков)
Изучение теоретических основ стоимости денег во времени необходимо начать с определения различия между простым и сложным начислением процентов. В таблице 1 проиллюстрировано накопление денежной суммы с применением простого и сложного начисления процентов.
Таблица 1 – Пример простого и сложного начисления процентов
(10% годовых)
Дата |
Простое начисление процентов |
Начисление по сложному |
||||
|
|
|
|
|
проценту |
|
|
Сумма |
Сумма |
Сумма |
Сумма |
Сумма |
Сумма |
|
начальная |
процентов |
конечная |
начальная |
процентов |
конечная |
01.01.2012 |
100 |
– |
– |
100 |
– |
– |
01.01.2013 |
100 |
10 |
110 |
100 |
10 |
110 |
01.01.2014 |
100 |
10 |
120 |
110 |
11 |
121 |
01.01.2015 |
100 |
10 |
130 |
121 |
12,1 |
133,1 |
01.01.2016 |
100 |
10 |
140 |
133,1 |
13,31 |
146,41 |
При сложном начислении процентов в накоплении участвует как первоначальная сумма вклада, так и прирост, полученный в предыдущем периоде.
Расчёт стоимости денег во времени при использовании сложного процента описывается шестью функциями денежной единицы (сложного процента), которые составляют три пары взаимообратных функций (рисунок 1).
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
|
|
|
|
|
|
PV |
PMT |
FV |
FV |
PMT |
PV |
i |
i |
i |
i |
i |
i |
n |
n |
n |
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
FV |
FV |
PMT |
PV |
PV |
PMT |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 ― Шесть функций сложного процента: три пары взаимообратных функций
5
Для расчёта стоимости денег во времени можно использовать таблицы сложного процента, математические выражения (таблица 2) или финансовый калькулятор.
В таблице 2 представлены формулы для расчёта. В расчётах используются следующие показатели:
1)PV ― текущая стоимость;
2)FV ― будущая стоимость;
3)PMT ― равновеликий периодический платёж (аннуитет);
4)i ― ставка дисконта;
5)n ― период времени;
6)К ― значение колонки в таблице сложного процента.
Таблица 2 ― Функции сложного процента
Наименование функции |
Основная формула |
Формула для использования |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таблиц сложного процента |
|||||||||||||
Сумма единицы по |
FV PV (1 |
i) n |
FV |
PV К1 , |
||||||||||||||||||||
сложному проценту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К1 |
(1 |
i)n |
|||||||||||
Будущая стоимость |
FV |
PMT |
(1 |
i) n |
1 |
|
|
FV |
PMT К 2 , |
|||||||||||||||
обычного аннуитета |
|
|
|
i |
|
|
|
|
К 2 |
(1 |
|
i) n 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
единицы за период |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Фактор фонда |
PMT |
FV |
|
|
|
i |
|
|
|
|
PMT |
|
FV К3 , |
|||||||||||
(1 |
i) n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||||||||||||
возмещения капитала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
i) n 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Текущая стоимость |
PV |
FV |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
PV |
FV К 4 , |
||||||||||||
(1 |
i) n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
реверсии единицы за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
i) n |
|||||||||||||
период |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Текущая стоимость |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
PV |
PMT К5 , |
||||||||||||||
PV |
PMT |
(1 |
i) n |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
обычного аннуитета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
(1 i) n |
|
||||||||||||||
единицы за период |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
PMT |
PV |
|
|
|
i |
|
|
|
|
PMT |
|
PV К6 , |
|||||||||||
Взнос на амортизацию |
1 |
1 |
|
|
|
|
К6 |
|
|
|
|
i |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
денежной единицы |
|
|
(1 |
i) n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 i)n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, необходимо найти размер периодического равновеликого платежа в счёт погашения 1 тыс. руб., предоставленной на 2 года под 15% годовых.
6
Дано: PV = 1 тыс. руб.; n = 2 года; i = 15%.
Найти: PMT ― ?
Решение:
PMT PV |
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
0,15 |
|
|
0,615 |
тыс. руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i)n |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
(1 |
|
|
|
(1 0,15) |
|
|
|
||||||
Ответ: 0,615 тыс. руб.
Решим предыдущую задачу с использованием таблиц сложного процента.
Дано: PV = 1 тыс. руб.; n = 2 года; i = 15%.
Найти: PMT – ?
Решение:
PMT PV К 6 |
1 0,6151163 |
0,6151163 0,615 тыс. руб. |
|
|
|
|||||
К6 |
0,615 116 3 (значение в таблице 3 на пересечении 2 года и 6 функции при |
|||||||||
15% ежегодном начислении процентов). |
|
|
|
|
|
|||||
Таблица 3 ― Таблица шести функций денежной единицы |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Годы |
|
Накопленная |
|
Накопление |
Фактор |
Текущая |
|
Текущая |
Взнос на |
|
|
|
сумма |
|
денежной |
фонда |
стоимость |
|
стоимость |
амортизацию |
|
|
|
денежной |
|
единицы за |
возмещения |
денежной |
|
аннуитета |
денежной |
|
|
|
единицы |
|
период |
|
единицы |
|
|
|
единицы |
|
|
|
|
Ежегодное начисление, 15 % |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1,150 000 |
|
1,000 000 |
1,000 000 0 |
0,869 565 |
|
0,869 |
57 |
1,150 000 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1,322 500 |
|
2,150 000 |
0,465 116 3 |
0,756 144 |
|
1,625 |
71 |
0,615 116 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1,520 875 |
|
3,472 500 |
0,287 977 0 |
0,657 516 |
|
2,283 23 |
0,437 977 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1,749 006 |
|
4,993 375 |
0,200 265 4 |
0,571 753 |
|
2,854 |
98 |
0,350 265 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0,615 тыс. руб.
Применение финансового калькулятора «Casio FС-100V»
1.Включить калькулятор.
2.Войти в систему финансовых расчётов путём нажатия клавиши
CMPD
7
3. Откроется меню ввода величин |
||
|
|
|
Compund Int. |
|
|
Set |
: End |
|
n |
=0 |
|
I% |
=0 |
|
PV |
=0 |
|
PMT |
=0 |
|
FV |
=0 |
|
P/Y |
=1 |
|
C/Y |
=1 |
|
где Set |
― режим выбора даты оплаты (End ― конец периода; Begin ― |
|
|
|
начало периода); |
P/Y ― число платежей в год;
C/Y ― число начислений сложного процента за год.
4. Прокрутка меню (ввод значений) производится с помощью клавиш
и 
5. После ввода каждого известного значения необходимо нажать клавишу
«да»
ЕХЕ
6.Если показатель не используется в расчёте, то он остаётся равным «0».
7.Вводите одно из известных значений PV, PMT или FV как отрицательную величину, используя клавишу «–» (минус) перед значением.
8.Выберите величину, которую необходимо вычислить (установите курсор в строке) и нажмите клавишу
SOLVE
9. В строке искомого показателя появится рассчитанное значение.
Например, необходимо найти размер периодического равновеликого платежа в счёт погашения 1 тыс. руб., предоставленной на 2 года под 15% годовых
Compund Int. |
|
|
Set |
: End |
|
n |
=2 |
|
I% |
=15 |
|
PV |
=-1 |
|
PMT |
=0 |
После нажатия клавиши «SOLVE» появится результат «=0,615» |
FV |
=0 |
|
P/Y |
=1 |
|
C/Y |
=1 |
|
|
|
8 |
Если необходимо определить размер ежемесячного периодического равновеликого платежа в счёт погашения 1 тыс. руб., предоставленной на 2 года под 15% годовых, то ввод данных несколько изменится
Compund Int. |
|
|
Set |
: End |
|
n |
=2 12 |
|
I% |
=15 |
|
PV |
=-1 |
|
PMT |
=0 |
После нажатия клавиши «SOLVE» появится результат «=0,0484» |
FV |
=0 |
|
P/Y |
=12 |
|
C/Y |
=12 |
|
Для решения подобных задач можно использовать финансовые функции Excel (таблица 4).
Таблица 4 ― Применение финансовых функций Excel
Функция Excel |
Рассчитываемый показатель |
Функция сложного |
||
|
|
процента |
||
БС |
FV |
1, |
2 |
|
ПС |
PV |
4, |
5 |
|
ПТЛ |
PMT |
3, |
6 |
|
КПЕР |
n |
1, 2, 3, 4, 5, 6 |
||
СТАВКА |
i, % |
|||
|
|
|||
Например, необходимо определить будущую стоимость первоначального вклада в размере 1 000 руб., предоставленного на 4 года под 12% при ежегодном начислении процентов.
Решение:
Воспользуемся функцией Excel «БС» ― будущая стоимость. Занесём имеющиеся данные:
Ставка=0,12 (i=12 %); Кпер=4 (n=4);
Пс=-1000 (PV=-1000);
Тип=0 (0 или 1 ― указывает на тип платежа: обычный или авансовый). Здесь также один из известных показателей (Бс, Пс или Плт) заносится со
знаком «-» (минус).
9