Материал: 5544

Иначе (если f b f c ) находим a b, b c, d d, c d a b ;

4)переходим к п.2.

Всхеме в п.3 при пересчёте b и c учитываются новые значения других точек. Формулы b a 0,382 d a и b a d c равносильны, поскольку b и c от-

стоят на одинаковом расстоянии от a и от d соответственно. Также равносильны формулы c a 0,618 d a и c d b a , то есть c d a b .

Пример. Найдём точку глобального минимума функции f x x 2 3x 3 на отрезке [0, 2] с точностью 0,1. Вычисления проведём с двумя запасными цифрами для наглядности.

Решение. Шаг 1. Длина отрезка [0, 2] равна 2. Делим его на три части точка-

ми a 0 , b 2 0,382 0,764 , c 2 0,618 1,236 , d 2 . Находим

Шаг 2. Отрезок 0,764; 2 делится на три части точками

a 0,764, b 1,236, d 2, c 2 0,764 1,236 1,528 .

Считаем f 0,764 1,292 (уже известно) и f 1,528 1,5282 31,528 3 0,751.

Поскольку f 1,236 f 1,528 , оставляем участок 1,236; 2 в качестве нового отрезка.

Шаг 3. Отрезок 1,236; 2 делится на три части точками

a 1,236, b 1,528, c 2 1,236 1,528 1,708, d 2 .

Поскольку f 1,528 f 1,708 , оставляем 1,236; 1,708 .

Шаг 4. Отрезок 1,236; 1,708 делится на три части точками

a 1,236, b 1,236 1,708 1,528 1,416, c 1,528, d 1,708

Вычислим f 1,416 1,4162 31,416 3 0,757 и учтём, что f(1,528) = 0,751.

Поскольку f 1,416 f 1,528 , оставляем 1,416; 1,708 для следующего шага. Шаг 5. Отрезок 1,416; 1,708 делим точками

51

a 1,416, b 1,528, c 1,708 1,416 1,528 1,596, d 1,708.

ваем xmin 1,528, округлив до 1,5. Ответ: xmin 1,5 с точностью 0,1.

Указывать в ответе 1,528 или 1,53 нет смысла, поскольку цифры после 5 неверные. Точное решение примера – также 1,5. Совпадение приближённого решения с настоящим при низкой точности вычислений случайно и объясняется отсутствием цифр после 5 в точном решении.

Замечание. При замене функции на f x x 2 3,008x 3 и решении его с точностью 0,1 или 0,01 мы бы получили (после округления) то же решение xmin 1,5, но погрешность по сравнению с точным решением 1,554 составила бы 0,004 .

§3. Численное интегрирование

3.1.Основные трудности точного интегрирования

Для функций f x , непрерывных на отрезке a; b , существует определённый интеграл ab f x dx . Если известна первообразная функция F(x), для которой во

b

f x dx F b F a .

a

Трудность в том, что общего способа поиска первообразной не существует. При поиске первообразной небольшое изменение функции может полностью изменить как результат, так и способ его получения.

Кроме того, первообразные многих функций вообще нельзя указать аналитически в виде элементарных функций. Хорошо известны интегралы

и другие, не выражающиеся через элементарные функции.

Поиск интеграла часто громоздок и требует знания многих вспомогательных формул. Так, если sin xdx – табличный, то при поиске sin 2 xdx надо знать, что sin 2 x 0,5 1 cos 2x , а sin 3 xdx надо представить как 1 cos2 x d cos x .

Сложно интегрировать и дробные функции.

Численные методы интегрирования позволяют обойти указанные трудности, тем более что параметры, входящие в интеграл, в практических задачах известны неточно, и потому нет смысла в точном вычислении интеграла. Основные способы приближённого интегрирования:

а) при помощи полиномов Лагранжа или Ньютона; б) путём разложения функции в степенной ряд по формулам МакЛорена; в) по квадратурным формулам.

Интегрирование при помощи полиномов позволяет проинтегрировать даже таблично или графически заданные функции, а также функции, задаваемые слишком сложной формулой.

Разложение в ряд удобно, когда производные высоких порядков подынтегральной функции малы на интересующем нас отрезке. Квадратурные формулы универсальны и подходят для любой ограниченной функции, хотя и не позволяют записать результат в общем виде.

3.2. Интегрирование при помощи полиномов Лагранжа и Ньютона

Пусть функция f(x) задана таблицей

Если функция задана графически, такую таблицу можно составить по точкам графика, а если известна формула, то можно найти несколько значений функции и по ним также составить таблицу.

Составив полином так, как указано в § 1 ,и раскрыв скобки, получим

Pn x a0 a1 x a2 x2 an xn . Если функция f(x) приближена полиномом, интеграл от неё можно заменить интегралом от полинома. Поэтому

f x dx Pn x dx a0 a1 x a2 x2 an xn dx .

53

Проинтегрировав, получаем, что

1

точек (0; 0) и (1; 1) получается полином P1 x x , и тогда интеграл xdx 0,5 . Но

0

1

эти же точки подходят и для функции f x x99 , а для неё x99dx 0,01 .

0

Более того, функция f x x0,001 также проходит через (0; 0) и (1; 1), и в этом

1

случае x0,001dx 1,000 / 1,001 1. Поэтому для корректного вычисления надо знать

0

ещё некоторые значения функции на отрезке [0; 1].

/ 2

Пример. Найдём при помощи полинома Ньютона интеграл sin 4 xdx

0

и укажем общую формулу для интегрирования по любой части этого отрезка. Решение. По стандартным значениям аргумента составим таблицу

Учтём, что / 6 0,523 6, / 4 0,785 4, / 3 1,074 2, / 2 1,570 8 . Действуя по приведённой в § 1.3 схеме, находим разности

10 0,119 4, 20 0,760 0, 30 0,1451, 40 0,923 9 .

Последовательно находим z4 0,9239,

z3 0,1451 0,923 9 x 1,074 2 0,923 9x 1,137 6,

z2 0,760 0 1,137 6 0,923 9x x 0,7854 0,923 9x2 1,863 2x 0,133 5 , z1 0,119 4 1,863 2x 0,923 9x2 0,133 5 x 0,523 6 ,

т.е. z1 0,923 9x3 2,347x2 1,109 1x 0,189 3 ,

54

Тогда на любой части этого отрезка a;b 0; / 2 :

Этот же ответ получится при построении полинома Лагранжа, поскольку для одного и того же набора точек полиномы Лагранжа и Ньютона (после раскрытия скобок и упрощения) одинаковы. Точный ответ, получаемый двукратным понижением порядка в неопределённом интеграле – это 0,589.

Указанный способ достаточно громоздок по сравнению с интегрированием по квадратурным формулам. Его основное преимущество – получение первообразной в виде аналитической функции, что позволяет вычислить определённый интеграл по любому отрезку, входящему в область данных задачи, и даже незначительно выходящему из неё, причём приближённая формула не зависит от границ отрезка.

3.3. Интегрирование при помощи рядов МакЛорена

Как отмечено в § 1.4, любую функцию f(x), дифференцируемую n раз в точке

55