Материал: 5544

Продолжая, получаем последовательность 2,626, 1,855, 2,429, 1,906, 2,377, и с некоторого момента чередуются числа 2,154 и 2,155.

Ответ: 3 10 2,155 .

Пример 3. Посмотрим, что произойдёт, если при поиске 3 64 взять x0 4 –

точный корень.

ведливо и для уравнений xk A .

2.6. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Пусть дана система n нелинейных функциональных уравнений относительно n переменных x1 , x2 , , xn :

f1 x1 , x2 , , xn 0,f2 x1 , x2 , , xn 0,

fn x1 , x2 , , xn 0,

41

где fi x1 , x2 , , xn 0 при i 1,2, , n – некоторые известные функции. Набор переменных x1 , x2 , , xn служит решением системы, если отвечает каждому её уравнению. Точно решить такие системы можно лишь в простейших случаях. Единственно возможный общий метод – метод подстановки, когда переменные выражаются через остальные и система сводится к одному уравнению исключением переменных, здесь не подходит, поскольку в лучшем случае получится очень громоздкое уравнение, а в большинстве случаев такое исключение само невозможно.

Метод Ньютона – один из основных приближённых методов решения таких систем. Он основан на следующих идеях:

1) для дифференцируемой функции одной переменной справедливо приближённое равенство f (x) f x0 f x0 x x0 , где x0 – произвольная точка, а x x0

;

2) поскольку наша цель – подобрать x так, чтобы f x 0 , а значения f x0 и f x0 известны, получается линейное уравнение относительно x x0 или, что равносильно, относительно x ;

3) аналогичное равенство справедливо и для функции многих переменных,

X X 0 считать скалярным;

4) в случае многих переменных получается линейное уравнение относительно X X 0 , содержащее n неизвестных x1 , x2 , , xn ;

5)для однозначного поиска n неизвестных в общем случае достаточны n независимых уравнений, и каждое такое уравнение получается дифференцированием очередной функции f2 , f3 , , fn ;

6)таким образом, получается система n линейных уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , , xn , решить которую можно известными способами либо

точно, либо приближённо.

Запишем систему в общем виде. Пусть X 0 x10 , x20 , , xn0 – некоторое началь-

ное приближение, X x1 , x2 , , xn – некоторая точка, близкая к X 0 . Тогда можно считать, что

42

Пример 1. Пусть дана система

x2 y 2xz yz 2 1 03xyz 6 y 12 0

yx 3xz y2 3 0

Обозначим функции в левых частях системы соответственно как F, G, H . Найдём частные производные:

Найдём значения функций в этой точке:

F 0;1;2 021 2 0 2 1 22 1 3;

G 0;1;2 3 0 1 2 6 1 12 6;

H 0;1;2 1 0 3 0 2 22 3 7,

и значения частных производных:

Составим систему

Получаем x 9 / 7 1,28, y 2 / 7 0,28 , затем z 1,28 0,28 0,75 0,81 .

Новое приближение x 0 1,28 1,28, y 1 0,28 0,72 и z 2 0,81 2,81.

Первое приближение найдено, 1-й шаг закончен.

Чтобы решать задачу дальше, в новой точке надо найти значения функций и

x 1,28 x , y 0,72 y , z 2,81 z , и т.д.

44

Вычисления прекращают, когда все i , где – необходимая точность вычислений, указанная заранее.

При решении задачи в пакете EXCEL для решения линейной системы проще всего воспользоваться функциями МОБР и МУМНОЖ. Выполнив 1-й шаг, можно разместить новое приближение в том же порядке, как начальное, и копировать формулы специальной вставкой, либо просто вручную заносить новое приближение на место прежнего. Однако число шагов для нелинейных систем может быть достаточно большим – до 10-15 и более приближений. Поэтому для систем 2-го порядка лучше формулы для вычисления 1 , 2 занести в явном виде, например, как формулы Крамера. А именно, для системы

Fx x Fy y F , Gx x G y y G

Выполним 2 шага подробно, а затем составим таблицу для вычислений. Поскольку точность 0,01 , действия выполняем с 3-мя знаками после запятой (3-я цифра запасная).

линейная система имеет вид

45