Материал: 5544

Можно заметить, что сумма f a,b, , c, xk yk 2 для фиксированного

k

представляет собой функцию нескольких переменных

F a,b, ,c . Цель метода – найти минимум такой функции. Но экстремум функции нескольких переменных может быть только в точке, где все её частные производные обращаются в нуль или не существуют:

Заметим, что МНК позволяет подобрать функцию y=f(x), если она сводится к виду f x a1 f1 x a2 f2 x am fm x , где f1 , f2 , , fm – линейно независимые базисные функции, не содержащие неизвестных параметров. Так, для квадра-

Пусть по n точкам x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn определяется линейная зависи-

то после деления на 2 и раскрытия скобок получаем систему

где n – число пар значений, а неизвестны параметры a и b. Систему 2-го порядка можно решить любым удобным способом (например, по формулам Крамера).

Из тех же соображений при подборе квадратичной зависимости y ax2 bx c получается система

с неизвестными a, b, c.

Пример 1. В таблице приведены 4 пары значений:

Подобрать методом наименьших квадратов линейную функцию y ax b . Решение. Найдём необходимые суммы:

xk 3 0 1 5 3 ;

yk 2 1 2 6 5 ;

xk2 3 2 02 12 52 35 ;

xk yk 3 2 0 1 1 2 5 6 38 .

Подставив суммы в систему (1.11), получим

35a 3b 38,

3a 4b 5.

Решение этой системы – числа a 1,046 и b 0,466 . Таким образом, теоретическая линейная функция y 1,046x 0,466 .

Сумма квадратов отклонений теоретических значений от фактических:

y xk yk 2 2,672 3 2 0,466 1 2 1,512 2 2 5,70 6 2 2,929 ,

17

и её невозможно уменьшить ни при каких других а, b. Функция y 1,046x 0,466 даёт лучшее приближение по сравнению со всеми линейными функциями.

Например, попытавшись провести прямую по двум точкам, давшим наибольшие отклонения, то есть по точкам (–3,–2) и (0,–1), получим y 0,333x 1 . Тогда в этих точках отклонения составят 0, в точке (1,2) получим y 1 0,333 1 1 0,667 , но в точке (5,6) будет не 5,70, а y 5 0,333 5 1 0,667 и

из-за этого общее отклонение станет намного больше:

0 0 0,667 2 2 0,667 6 2 35,533.

Тем не менее можно учесть отклонение в точках (–3,–2) и (0,–1), считая например, что все точки находятся не на прямой, а на дуге параболы, что показывает следующий пример.

Пример 2. По данным примера 1 найти функцию y ax2 bx c .

Решение. Необходимые произведения и суммы удобно найти в таблице, за-

Подставив все xk в полученную функцию, найдём теоретические значения y xk и заполним последние три столбца. Общее отклонение 2,092 меньше, чем

18

2,929 при линейном приближении. Параболическая функция точнее учитывает данные задачи, чем линейная.

Ответ: y 0,059x2 0,914x 0,046 .

Если при поиске параболической функции уменьшение общего отклонения невелико и высокая точность в дальнейших действиях не нужна, предпочтительнее выбрать линейную функцию как более простую. Так, построив по четырём точкам примера 2 кубическую параболу, получим отклонение, равное 0, но это противоречит самой цели МНК – с меньшими затратами получить простую функцию. Более того, коэффициент при x 3 будет невысок.

Встроенная в пакет EXCEL функция ЛИНЕЙН позволяет сразу получить коэффициенты линейной зависимости по входным данным. Её действие как раз основано на изложенном алгоритме. Более того, с помощью функции ЛИНЕЙН можно найти зависимость общего вида

варительно вычислив значения всех базисных функций в точках xk .

Некоторые функции приходится преобразовывать к зависимости, допускающей применение МНК. Так, попытка найти коэффициенты а, p для функции

решить которую невозможно. Как действовать в таких случаях, покажем на нескольких примерах.

Пример 3. В таблице приведены пять пар значений:

Подобрать методом наименьших квадратов функцию y ax p . Решение. Прологарифмируем равенство:

ln y ln ax p ln a ln x p ln a p ln x , и обозначим B ln a, Y ln y, X ln x .

Задача свелась к поиску зависимости Y pX B по известному алгоритму.

19

Составим таблицу:

В таблице X ln x , Y ln y , а в последней строке указаны суммы каждого столбца. Подставив суммы так же, как в примере 1, и учитывая, что у нас пять пар данных, получим систему

6,199 5 p 4,787 5B 11,463 54,787 5 p 5B 9,641 5,

из которой p 1,400 0, B 0,587 8 .

Поскольку B ln a и соответственно a eB , находим a e0,5878 1,800 0 . Таким образом, если предполагается степенная зависимость, то наиболее точно она задаётся формулой y 1,8x1,4 . Проверка даёт почти нулевое отклонение.

Ответ: y 1,8x1,4 .

Пример 4. По приведённым данным

Решение. Чтобы привести функцию к виду, допускающему подбор методом наименьших квадратов, обратим исходное равенство:

Обозначив K 1/ A, B b / A, получаем зависимость Y KX B , где Y 1 / y

и X ln cos x .

20