Материал: 5544

Выше отмечалось, что на уравнение (5.12) можно смотреть как на систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными yi – координатами вектора yh. Тогда Lh есть матрица этой системы. Если её определитель отличен от нуля (det Lh 0), то уравнение (5.12) имеет единственное решение. Справедливо и такое утверждение : уравнение (5.12) имеет единственное решение при любой правой части fh тогда и только тогда, когда однородное уравнение Lh yh = 0 имеет единственным решением тождественный нуль (yh 0 ).

Теперь покажем, что из условий аппроксимации (5.19), (5.20) и условия устойчивости (5.21) следует сходимость разностной схемы. При этом скорость сходимости О(hk) устойчивых разностных схем совпадает с порядком аппроксимаций операторов и правых частей уравнений.

Действительно, функция ошибок zh = yh – (y)h удовлетворяет разностному уравнению Lhzh = Rh, где Rh = Lh yh - Lh(y)h есть функция аппроксимаций. Тогда из (5.21) следует неравенство

|| z h|| Yh с3 || Rh|| Fh.

Так как

Rh = [Lh yh - (Ly)h] + [(Ly)h - Lh(y)h],

то на основании аппроксимационных оценок (5.19), (5.20) имеем, что

|| z h|| Uh = ||yh – (y)h|| Uh c3(||Lh yh – (Ly)h|| Fh +||(Ly)h – Lh(y)h|| Fh) = c3(||fh – (f)h|| Fh+ +Yh+||(Ly)h – Lh(y)h|| Fh) c3(c1hk + c2hk) = c4hk.

Таким образом, для функции ошибок zh = yh – (y)h установлено неравенство (5.18). Приступим теперь к проверке условия аппроксимации (5.20) оператора

L оператором Lh.

Пусть y(x) есть дважды непрерывно дифференцированная функция. По формуле Тейлора имеем

y(x + h) = y(x) + h y (x) + 12 h2 y ξ1),

где ξ1 – некоторая точка интервала (x, x + h). Отсюда получим, что

91

и так как │ y (ξ1)│ с5, то

Это есть оценка близости разностного отношения к производной. Требование большей гладкости от функции y(x) этой оценки не улучшит (остаётся точность

О(h)).

Замечание. Выясним, какая оценка может быть получена, если производную y (x) аппроксимировать симметричным разностным отношением

y(x h) y(x h) . 2h

Пусть y(x) есть трижды непрерывно дифференцируемая функция. Тогда по формуле Тейлора получим

где ξ2, ξ3 – некоторые точки из интервала (x – h, x + h). Тогда

Требование большей гладкости от функции y(x) последней оценки не улучшит (остаётся точность близости О(h2)).

92

Установим теперь, как аппроксимирует вторую производную y (x) разностное отношение

y(x h) 2 y(x) y(x h) . h2

Если y(x) есть трижды непрерывно дифференцируемая функция, то из только что выписанных разложений по формуле Тейлора для y(x + h) и y(x – h) получим, что

Из ограниченности третьей производной следует, что

Таким образом, точность близости будет О(h).

Если функция y(x) будет четырежды непрерывно дифференцируемой, то аналогичным образом с помощью формулы Тейлора можно установить оценку

Однако при большей гладкости y(x) последняя оценка не может быть улучшена. Пусть коэффициенты a0(x), a1(x) уравнения (5.1) непрерывны на Ω = (a, b).

Тогда на множестве трижды непрерывно дифференцируемых функций в Ω с помощью оценок (5.22) и (5.24) получится неравенство

│Lhy – Ly │ c9h ,

которое выполнено для всех точек x, для которых x – h и x + h принадлежат отрезку [a, b], т. е. на отрезке [a+ h, b – h]. Следовательно, это неравенство справедливо для узлов xi сетки, принадлежащих Ωh.

93

Из последнего неравенства получится оценка (5.20) с порядком k = 1. Таким образом, точность близости операторов будет О(h). При этом в качестве нормы в пространстве Fh берётся равномерная норма

Пусть в дифференциальном уравнении (5.1) коэффициент a1(x) = 0 (тогда в разностном уравнении (5.10) отсутствует слагаемое ), а коэффициент а0(х) есть непрерывная на (a, b) функция. Тогда на множестве четырежды непрерывно дифференцируемых функций в из неравенства (5.25) получается оценка (5.20) с порядком k = 2 в той же равномерной норме С( h). Следовательно, точность близости таких операторов L и Lh будет О(h2).

Пусть в разностном уравнении (5.10) вместо разностного отношения применено симметричное разностное отношение (5.8). Тогда при условии непрерывности функций a1(x) и а0(х) на множестве четырежды непрерывно дифференцируемых функций y(x) для такого оператора Lh будет выполнено неравенство (5.20) с k=2 в равномерной норме С( h). Это следует из оценок

(5.23) и (5.25).

Неравенства (5.20) с соответствующим порядком k будут выполняться и в квадратичной норме L2( h ). Это следует из очевидного неравенства

Перейдём к проверке условия устойчивости. Ограничимся более простой ситуацией, когда оператор Lh не содержит слагаемого a1,h yh .

Для доказательства нам потребуется скалярное произведение в L2( h ), опре-

деляемое равенством

N 1

(uh, vh)= U iVi h,

i 1

известное неравенство Коши – Буняковского

с нормами в L2( h ). Кроме того, будет использована формула суммирования по частям

имеющая некоторую аналогию с формулой интегрирования по частям в одномерном определённом интеграле.

Рассмотрим в L2(Ωh) скалярное произведение (Lhyh, yh), с указанным оператором Lh на множестве сеточных функций, удовлетворяющих граничному условию (5.11). Пусть при этом a0,h δ > 0.

Из формулы суммирования по частям при выполнении граничных условий (5.11) получим, что

Неравенство означает, что Lh есть положительно определённый оператор как оператор, действующий из L 2 ( h ) в L 2 (Ω h ).

Из (5.26) и неравенства Коши – Буняковского получаем неравенство

|| Lhyh || L 2 (Ω h ) δ || yh ||L 2 ( Ω h ). (5.27)

Если yh есть решение уравнения (5.12), то из (5.27) имеем оценку

которая и означает устойчивость.

Таким образом, если в уравнении (5.1) a1(x) = 0 (следовательно, в уравнении (5.10) a1,h = 0), то в случае трижды непрерывно дифференцируемого решения у(х) краевой задачи (5.1), (5.2) получим сходимость yh к y в норме L 2 ( h ) со скоро-

95