Документ: 5561, страницы 51-55 | База учебных материалов

x1	t	Re	e	kt	,	x2	t		e	kt	.
y1 t						y2	t	Im

Это означает, что из комплексного решения

x t	x1 t	ix2	t ,
y t	y1 t	iy2	t ,

соответствующего комплексному корню a + bi характеристического уравнения системы, выделены пары действительных решений

x1 t	Re x t , x2 t	Im x t ,
y1 t	Re y t , y2 t
y1 t	Re y t , y2 t	Im y t

действительная и мнимая части комплексного решения, которые образуют фундаментальную систему решений. Комплексно-сопряжённый корень a – bi характеристического уравнения задаёт эту же фундаментальную систему решений.

Пример 2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

	dx		4x 3y,

	dt
	dt
	dy		3x 4 y.

	dt
	dt

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:

	4 k	3	0 или k 2		8k	25	0 .
	3	4 k	0 или k 2		8k	25	0 .
	3	4 k
Корни этого уравнения таковы: k1,2			4 3i . Найдём решение системы (11.3),
отвечающее одному из этих корней,			например,		k1	4	3i . В данном примере
система (11.3) в случае этого корня имеет вид
4		4	3i	3	0,
3		4	4	3i		0.
После упрощения получаем систему
		3i	3	0,
		3	3i	0,

которая имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Одним из этих

решений является вектор	,	= 1,	i .
Подставим корень	k1	4	3i и полученные	1,	i в (11.2).
Получим решение данной системы как комплексные функции
			51

x t e 4 3i t ,

y t ie 4 3i t .

Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями рассматриваемой системы. Для выделения этих частей воспользуемся равенством

ex

yi

ex

e yi

и формулой Эйлера

e yi

cos y

i sin y.

Тогда получим, что

x t

e

4t

cos3t

i sin 3t ,

y t

e

4t

i(cos3t

i sin 3t)

e

4t

sin 3t i cos3t .

Таким образом,

Re x t

e

4t

cos3t ,

Re y t

e

4t

sin 3t ,

e

4t

sin 3t ,

Im x t

Im y t e 4t cos3t .

Действительные линейно независимые решения задаются функциями:

x1 t e x2 t e

4t

cos3t, y1 t e 4t sin 3t ; sin 3t, y2 t e 4t cos3t.

Эти решения и образуют фундаментальную систему. Общее решение данной системы уравнений таково:

x t	e	4t (С cos 3t	С	2	sin 3t ),
		1		2
y t	e	4t (С sin 3t	C	2	cos 3t),
		1		2

где C1,C2 – произвольные постоянные.

Построение фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений в случае кратных собственных чисел матрицы системы уравнений является значительно более сложной задачей. Разберём эту ситуацию на примере.

Пример 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx	2x	y,

dt
dt
dy	x	4 y.

dt
dt

Решение. Характеристическое уравнение этой системы таково:

52

2 k	1	0 или k 2	6k 9 0 .
1	4 k	0 или k 2	6k 9 0 .
1	4 k

Оно имеет один двукратный корень k=3 (k1=k2=3). Решение системы надо искать в виде

			x	1		t e3t ,
				1		1
			y	2		2t e3t .
Продифференцировав эти функции, получим
	dx			e3t	3		3 t e3t ,
		1				1

	dt						1
	dt
	dy		2e3t		3 2		3 2t e3t .

	dt
	dt
Подставляя эти функции x t ,				y t	и их		производные в данную систему,

сокращая на e3t , получим следующие равенства:

1

2

3

1	3 1t 2 1		2 1t	2	2 2t,
2	3 2t	1	1t	4 2	4 2t.

Левые и правые части этих равенств являются многочленами первой степени относительно переменной t. Приравнивая соответствующие коэффициенты этих многочленов, получим следующую систему из четырёх линейных

алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными						1, 1, 2 , 2 :
1	3 1	2 1	2 , 3 1		2 1	2 ,
2	3 2	1	4 2 , 3 2		1	4 2 .
После преобразований получаем систему
	1	1	2 ,	1	2 ,
	2	1	2 ,	1	2 ,

ранг которой равен двум и свободных неизвестных – две. В качестве двух линейно независимых уравнений можно взять, например,

					1	2 , 1	2	2.
Очевидно,			что	за	базисные	переменные		можно взять	1, 1; тогда
2 ,	2	свободные переменные,				которые остаются произвольными. Обозначив
эти	произвольные				постоянные,	соответственно, через С1 и			С2, получим,
что	1	С1	С2 ,	1	С2 . Итак, общее решение рассматриваемой системы таково:

53

x t C1 C2 C2t e3t , y(t) C1 C2t e3t .

Сделаем замечание по поводу вида, в котором ищется общее решение системы уравнений примера 3 (случай, когда характеристическое уравнение системы имеет двукратный действительный корень).

Эту систему можно свести к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами относительно одной из неизвестных функций. Сделаем это. Продифференцируем второе

уравнение; получим, что

d 2 y

dx

4

dy

. Подставим в это уравнение

dx

из

dt 2

dt

первого уравнения исходной системы.

Получим, что

d 2 y

2x y 4

dy

. В

dt

2

dt

это уравнение подставим функцию x, найденную из второго уравнения исходной системы ( x 4 y dydt ). Окончательно имеем следующее уравнение с неизвестной функцией y(t):

d 2 y	6	dy	9 y 0.
dt 2		dt

Это есть линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с

постоянными

коэффициентами,

характеристическое

уравнение

которого

k 2

6k

9 0 совпадает с характеристическим уравнением системы примера 3.

Функции

y

e3t ,

y

2

te3t

задают фундаментальную

систему

уравнения

1

y

6y

9y

0,

общим

решением

которого

является

функция

y

C

t e3t (см.

тему

7). Как видно, оно совпадает с решением y t

1

2

системы этого примера.

Изучим ещё систему трёх уравнений с тремя неизвестными функциями

x t

, y t

, z t

вещественной переменной t

dx

a11x

a12 y

a13 z,

dt

dy

a21x

a22 y

a23 z,

(11.7)

dt

dz

a31x

a32 y

a33 z,

dt

54

где asj (s, j	1,2,3)	постоянные действительные числа.
Будем искать частное решение системы в следующем виде:
		x	ekt ,	y	ekt , z	ekt ,	(11.8)
где , ,	и k –	некоторые		числа,	которые	надо определить так,	чтобы

функции (11.8) были решением системы (11.7).

Подставляя данные функции и их производные в уравнения системы и сокращая на ekt , получим

k	a11	a12	a13	,
k	a21	a22	a23	,
k	a31	a32	a33 .

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при

, , , получим систему уравнений

	a11	k	a12	a13	0,
	a21	a22	k	a23	0,	(11.9)
	a31	a32	a33	k	0.
Система (11.9) есть система трёх уравнений первой степени с тремя
неизвестными	, , . Как известно, чтобы эта				система имела	ненулевое

решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю, т. е. чтобы число k было корнем уравнения

a11 k	a12	a13
a21	a22 k	a23		0.	(11.10)
a31	a32	a33	k

Уравнение (11.10) называется характеристическим уравнением для системы (11.7). Оно является уравнением третьей степени относительно k и из него определяются те значения k , при которых система (11.9) имеет нетривиальные (ненулевые) решения , ,.

Из алгебры известно, что уравнение (11.10) будет иметь три корня с учётом их кратности. Комплексные корни всякого алгебраического уравнения с действительными коэффициентами являются сопряжёнными парами a bi . Поэтому уравнение (11.10) , являющееся уравнением нечётной степени (в данном случае третьей степени), будет иметь хотя бы один действительный корень k .

55

Материал: 5561

Смотрите также: