Материал: 5561

За базисную переменную можно взять α1; тогда α2 и α3 – свободные переменные. Полагаем α2 = С2, α3 = С3 (С2, С3 – произвольные постоянные); тогда α1 = С2 + С3. Кроме того, так как С = 0, то β1 = β2 = β3 = 0. Подставляем найденные коэффициенты в (11.12), получим частные решения, соответствующие двукратному корню k = 3.

Таким образом, общее решение исходной системы таково:

где C1 , C2 и C3 – произвольные постоянные.

Пример 7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:

подставляем в исходную систему дифференциальных уравнений. После преобразований, аналогичных предыдущему примеру, получим следующие девять алгебраических уравнений для нахождения девяти коэффициентов:

Первая группа уравнений (11.14) выражает коэффициенты β1, β2, β3 через α1, α2, α3. Подставляя их во вторую группу уравнений, получим выражения γ1, γ2 , γ3 через α1, α2, α3:

γ1 = 0, γ2 = α1 + α2 – α3, γ3 = α1 + α2 – α3.

Третья группа уравнений (11.14) автоматически обращается в тождество.

Ранг системы алгебраических уравнений (11.14) равен 6, а свободных переменных – три. В качестве свободных неизвестных можно взять α1, α2, α3. Пусть α1 = С1, α2 = С2, α3 = С3 (С1, С2, С3 – произвольные постоянные). Тогда базисные переменные выражаются через них следующим образом:

решений заданной системы дифференциальных уравнений и её фундаментальную систему решений (предоставляем это сделать читателю).

Контрольные задания

В соответствующем номере варианта требуется найти:

1.Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения с разделёнными переменными, записанного в дифференциальной форме.

2.Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, записанного в дифференциальной форме.

3.Общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого

порядка.

4.Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.

5.Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли (методом подстановки) и методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной).

62

предыдущего номера, удовлетворяющее данному начальному условию у(х0) = у0.

7.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

8.Частное решение уравнения из предыдущего номера, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(х0) = у00, y (х0) = у01.

9.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f(x) при каждой из трёх её указанных видов.

10.По условию задачи составить дифференциальное уравнение для описания процесса, найти его общее решение и решение задачи с начальными условиями (задачи Коши).

11.Общее решение однородной системы с постоянными коэффициентами, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями x(t), y(t).

1) f(x) = x2 + 1; 2) f(x) = (x + 2)e-2x; 3) f(x) = e3xcos 2x.

10. Скорость изменения количества населения есть первая производная по времени от количества населения. Предполагается, что скорость прироста населения прямо пропорциональна количеству населения. Найти зависимость между количеством населения N и временем t , если известно, что в некоторый

63

момент, принимаемый за начальный, количество населения составляло N0 , а

через год население увеличилось на n %. Найти предполагаемое на этой основе население города S на 1 сентября 2010 года, если известно, что 1 сентября 2008 года оно составляло 5,342 миллиона человек. Годовой прирост принять равным

1,5%.

Вариант 2

1.y dy xdx .

2.ey(1 + x2)dy – 2x(1+ey)dx = 0.

1) f(x) = 2x + 5; 2) f(x) = xe5x; 3) f(x) = ex(x cos 3x + sin 3x).

10. Согласно закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Принимая во внимание данный факт, установлено, что скорость охлаждения

окружающего среды, x искомое время охлаждения. Из экспериментального опыта известно, что тело в комнате с температурой 240 С в течении 10 минут охлаждается с 900 С до 400 С. Через сколько времени от момента начала охлаждения тело, нагретое до 900 С, охладится до 270 С?

Вариант 3

1.y dy – x dx = 0.

2.sin x dy = y ln y dx.

3. 3xy x2 dy 2xy y2 dx 0 .

4. (exy + 5y)dx + (ex + 5x + 1)dy = 0.

пропорциональности k доходу ( p y y доход от продажи выпуска продукции).

Согласно механическому смыслу производной скорость изменения функции