Материал: 5561

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Таким образом, относительно корней уравнения (11.10) возможны следующие ситуации:

1) все корни k1, k2, k3 действительны и различны;

2)имеется пара комплексно-сопряжённых корней и один действительный корень;

3)корни действительны и один из них является двукратным;

4)один действительный трёхкратный корень.

Рассмотрим первую ситуацию, когда все корни k1, k2, k3 уравнения (11.10) действительны и различны, т.е. матрица системы имеет простой спектр. Подставляя их по очереди в систему (11.9), найдём конкретные собственные векторы

1, 1, 1 ,

2 , 2 , 2 ,

3 , 3 , 3 .

В результате получим фундаментальную систему решений исходной системы

(11.7):

x1 1ek1t , y1 1ek1t , z1 1ek1t ; x2 2ek2t , y2 2ek2t , z2 2ek2t ; x3 3ek3t , y3 3ek3t , z3 3ek3t .

Общее решение системы (11.7) можно записать в виде

x t		1				2				3
		1				2				3
y t	C	1	ek1t	C	2	2	ek2t	C	3	3	ek3t ,	(11.11)
	1	1			2	2			3	3
z t		1				2				3
		1				2				3

где C1,C2 ,C3 – произвольные постоянные.

Пример 4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx	3x	2 y	2z,

dt
dt
dy	4x	3y	4z,

dt
dt
dz	4x	2 y	3z.

dt
dt

Решение. Характеристическое уравнение для системы имеет вид

3 k	2	2
4	3 k	4		0.
4	2	3	k
	56

Вычислив		определитель,			получим					уравнение				третьей			степени
k 3	3k 2	k 3 0. Все корни							характеристического						уравнения –
действительные и различные числа, а именно:										k1			1, k2	1,	k3		3.
	Найдём частное решение, соответствующее корню													k1	1.	Подставляя
k1	1 в систему (11.9), получаем						следующую						алгебраическую				систему
уравнений:
				4		2			2		0,
				4		4			4		0,
				4		2			2		0.
Одним из решений этой системы будут числа:													0,	1,		1.	Согласно
(11.8) частное таково:			x	0, y	e	t , z			e t .
			1	1			1
	Найдём частное решение, соответствующее корню													k2	1.	Подставляя
k2	1 в систему (11.9), получаем:
				2		2			2		0,
				4		2			4		0,
				4		2			4		0.
Одно из решений этой системы таково:									1,				0 ,	1. Частное решение
имеет следующий вид:			x2	et , y2		0 ,	z2		et .
	Найдём частное решение, соответствующее корню													k3	3.	Подставляя
k3	3 в систему (11.9), получаем:
						2		2		0,
					4			4		0,
					4	2		6		0.
Одним из решений этой системы будет										1,			1,	1.	Тогда частное
решение имеет вид x3			e3t , y3		e3t , z3				e3t .
	Таким образом, найдена фундаментальная система решений.
	Общее решение исходной системы примера 4 таково:
				x		C2et				C3e3t ,
				y	C e t					C	e3t ,
					1					3
				z C e t			C		et	C		e3t ,
					1		2			3
где C1 , C2		и C3 – произвольные постоянные.
						57

Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx	x	2 y	z,

dt
dt
dy	2x	3 y	3z,

dt
dt
dz	x	3 y	2z.

dt
dt

Решение. Характеристическое уравнение для этой системы таково:

			1 k	2		1
			2	3	k	3		0.
			1	3		2	k
Корнями	характеристического			уравнения		k 3 2k 2			k	2	0 являются
числа k1	i , k2	i и k3		2 . Один корень характеристического уравнения
– действительный, а два другие – комплексно-сопряжённые.
Найдём частное решение, соответствующее корню									k1	i .	Подставляем
корень k1	i в систему (11.9), получаем систему для отыскания неизвестных ,
и :
		1		i	2		0,
		2		3	i	3	0,
				3	2	i	0.

Эта система имеет множество решений. Возьмём значение

2 ,

тогда

1 i ,

i . Комплексное решение

начальной

системы

имеет

вид:

x eit 1

i , y

eit 1

i ,

2eit .

Используя

формулу Эйлера, запишем

полученное решение системы в виде

cost

i sin t

cost

sin t

i sin t

cost ,

cost

i sin t

cost

sin t

i sin t

cost ,

2(cost

i sin t).

Известно,

что действительная и мнимая части полученного решения по

отдельности представляют собой решение исходной системы. Таким образом, имеем два действительных решения исходной системы:

x1	cost sin t,	y1	cost	sin t , z1	2 cos t ;
x2	sin t cost,	y2	sin t	cost , z2	2sin t .
Найдём частное решение,		соответствующее корню k3 2 . Подставляем

k3 2 в систему (11.9), получаем:

2		0,
2	3	0,
3	4	0.
Одно из решений этой системы таково:		1 и	1,	1. Тогда ещё одно

частное решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид: x3 e2t , y3 e2t , z3 e2t .

Общее решение начальной системы имеет следующий вид:

x	C (cost	sin t)	C	2	sin t	cost	C		e2t	,
	1			2				3	e2t
y	C cost	sin t	C	2	sin t	cost	C		e2t	,
	1			2				3
z	2C cost		2C		sin t		C	e2t ,
	1			2			3

где C1 , C2 и C3 – произвольные постоянные.

Разберём теперь на примере ситуации 3) и 4), т.е. случаи кратных корней. Пример 6. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx	5x	2 y	2z,

dt
dt
dy	2x	y	2z,

dt
dt
dz	2x	2 y	z.

dt
dt

Решение. Характеристическое уравнение для системы таково:

	5	k	2	2
	2		1 k	2	0.
	2		2	1 k
Корнями характеристического уравнения				k 3	7k 2 15k	9	0 являются
действительные числа k1 1,		k2	k3	3 .
Найдём частное решение, соответствующее корню k1						1.	Подставляем

k1 1 в систему (11.9), получаем систему для отыскания неизвестных , и

:
4	2	2	0,
2		2	0,
2	2		0.

Одним из решений этой системы будет следующее решение:			1,	1,
1. Частное решение исходной системы имеет вид	x	et , y	et , z	et .
	1	1	1

Найдём частные решения, соответствующие двукратному корню k 3 .

Их нужно искать в следующем виде:
х = (α1 + β1t)e3t,
y = (α2 + β2t)e3t,	(11.12)
z = (α3 + β3t)e3t.

Продифференцировав эти функции, получим, что

	dx		e3t	3
		1
	dt


dy			e3t	3
		2
	dt


	dz		e3t	3
		3
	dt

13 1t e3t ,

23 2t e3t ,

33 3t e3t .

Подставляя функции и их производные в заданную систему и сокращая на общий множитель e3t, получаем следующие равенства:

β1 + 3α1 + 3β1t = 5α1 – 2α2 – 2α3 + (5β1 – 2β2 – 2β3)t, β2 + 3α2 + 3β2t = 2α1 + α2 – 2α3 + (2β1 + β2 – 2β3)t,

β3 + 3α3 + 3β3t = 2α1 – 2α2 + α3 + (2β1 – 2β2 + β3)t.

Левые и правые части этих равенств являются многочленом первой степени относительно переменной t. Приравнивая в обеих частях свободные члены и коэффициенты при t, получим следующую систему из шести линейных алгебраических уравнений с шестью неизвестными α1, β1, α2, β2, α3, β3:

β1 + 3α1 = 5α1 – 2α2 – 2α3,	3β1 = 5β1 – 2β2 – 2β3,
β2 + 3α2 = 2α1 + α2 – 2α3,	3β2 = 2β1 + β2 – 2β3,
β3 + 3α3 = 2α1 – 2α2 + α3,	3β3 = 2β1 – 2β2 + β3.
После преобразований получим систему:
β1 = 2α1 – 2α2 – 2α3,	β1 = β2 + β3,
β2 = 2α1 – 2α2 – 2α3,	β2 = β1 + β3,
β3 = 2α1 – 2α2 – 2α3,	β3 = β1 – β2.

Из трёх уравнений правого столбца этой системы следует, что β1 = β2, β3 = 0. Полагаем β2 = С (С – произвольная постоянная), тогда и β1 = С. После этого первые три уравнения сведутся к следующим двум:

2α1 – 2α2 – 2α3 = С,

2α1 – 2α2 – 2α3 = 0.

Эта система совместна лишь в случае, когда С = 0. В этом случае будет одно уравнение

α1 – α2 – α3 = 0.

Источник: https://studfile.net/preview/16711221/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей