Материал: 5561

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения составил b 2% .

Решение 1.Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: наличное

количество населения y , время t .

2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

скорость изменения населения прямо пропорциональна наличному

количеству населения с коэффициентом пропорциональности k :							dy	ky .
количеству населения с коэффициентом пропорциональности k :							dt	ky .
							dt
3. Выбираем
независимую переменную t;
функцию переменной t, которую необходимо найти: y y t .
4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую
переменную t, искомую функцию y y t				и её производную:
скорость изменения количества населения есть первая производная от
количества населения по времени:			у		dy	.
количества населения по времени:			у			.
					dt
5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия
задачи
		dy		ky .

		dt
		dt
6. Найдём	общее решение		составленного дифференциального

уравнения.

Получили дифференциальное уравнение первого порядка с

разделяющимися переменными:	dy	kdt . Откуда	dy	k dt , ln y kt lnC ,
разделяющимися переменными:	y	kdt . Откуда	y	k dt , ln y kt lnC ,
	y		y
y Cekt . Общее решение таково:	y	Cekt .

7. Определяем параметры С и К

Так как общее решение

у = Сеkt,

то постоянная С определяется из начального условия у(0) = у0. Получим уравнение у0 = Сеk∙0 для нахождения С. Следовательно, С = у0 и решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид у = у0 еk∙t. Теперь надо найти параметр К. Для этого воспользуемся условием задачи: через год население

увеличилось на b%. Тогда годовой прирост в процентах от у0

составит

, а

100

количество населения через год станет равным

y0 . Таким образом,

100

y(1) y0

y0 .

100

Частное решение у = у0 еk∙t при t = 1 принимает значение у0 еk. Тогда для нахождения параметра К имеем следующее уравнение:

y			b	y		у	еk ,
	0				0
		100				0

откуда ek 1 100b . Следовательно, равенство

			b	t
y y0	1		b

		100
		100

задаёт численность населения в момент времени t при начальном количестве у0 и годовом приросте b%.

Первое начальное условие y 0 y0 . Найдём второе начальное условие из условия задачи. Поскольку через год население увеличилось на b %, то годовой

прирост в процентах от y0 составит 100b y0 , а количество населения через год

становится равным y0 + 100b y0 . Таким образом, второе начальное условие имеет

вид y 1 y0 + 100 y0 .

8. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 2).

Рисунок 2 – график частного решения

Из графика видно, что с увеличением времени t количество населения y t увеличивается.

Найдём предполагаемое количество населения России через 20 лет, зная, что в 2002 г. оно составляло 145 миллионов человек, а прирост населения

составил b	2% . Подставляя			в частное решение y0 145, t 20 и b 2 ,
		2	20
получаем y	145 1	2		145,5811 миллионов человек.

		100
		100

10 Системы дифференциальных уравнений

Линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка

называется система вида

dy1	p11 y1	p12 y2 ...	p1n yn
dx

dy2	p21 y1	p22 y2 ...	p2n yn
dx

.......... .......... .......... .......... .......... ......

f1 x ,

f2	x ,	(10.1)
		(10.1)


	dyn		pn1 y1	pn2 y2	...	pnn yn	fn x .
	dx

Запись системы в виде (10.1) называется нормальной формой.
Если функции		f1	x , f2	x ,…,	fn x	тождественно равны нулю, то
система называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Предполагается, что аргумент изменяется на всей числовой оси или на
некотором промежутке (например, на отрезке						a,b ).	Коэффициенты psj x и
свободные члены fs		x	предполагаются непрерывными на соответствующем
множестве функциями.
Пусть неизвестные функции y1					y1 x , …, yn		yn x в некоторой точке

x0 множества, на котором рассматривается система (10.1), удовлетворяют условиям

y1	x0	y01, ..., yn x0	y0n ,	(10.2)
где y01, ..., y0n заданные	числа. Условия (10.2) называются начальными
условиями для системы (10.1).
Задача (10.1)–(10.2) называется задачей Коши или задачей с
начальными условиями для системы (10.1).
Решение задачи (10.1)–(10.2) называется частным решением системы
(10.1).
Если коэффициенты	psj	x и свободные члены fs x		непрерывны на
a,b , то для любой точки x0 из интервала a,b			решение задачи Коши (10.1)–

(10.2) существует и единственно.

Общим решением системы (10.1) называется всякое её решение, из которого можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям

(10.2) при любой точке x0 из соответствующего множества и любых конкретно выбранных числах y01, ..., y0n .

Одним из основных методов нахождения решения однородных нормальных систем является метод исключения неизвестных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n – го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример. Найти общее решение системы уравнений

						dy	y 2z,

						dx
						dx
						dz	3y 4z.

						dx
						dx
Решение. Продифференцировав первое из уравнений системы								по	x ,
	d 2 y	dy	2	dz				dz
получим					. Подставляя в это равенство выражение				из
получим	dx2	dx		dx	. Подставляя в это равенство выражение			dx	из

второго уравнения системы и заменяя функцию z её выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции:

d 2 y

2 3y 4z

d 2 y

6 y 8

1 dy 1

;

dx2

d 2 y

6 y

d 2 y

2 y

0 .

или

dx2

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения

таково:

k 2

3k 2

0 ,

откуда

; тогда

С ex

e2 x , где

С1, С2 –

произвольные

постоянные.

Дифференцируя

последнее

равенство,

С1ex

2С2e2 x . Подставляя

выражения для y

имеем

в первое

уравнение системы, получаем

С ex

2С

e2 x

С ex

e2 x

2z , z

С1ex

С2e2 x .

Общее

решение

данной

системы

имеет

вид

С ex

e2 x ,

С1ex

С2e2 x .

Источник: https://studfile.net/preview/16711221/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей