Документ: 5561, страницы 31-35 | База учебных материалов

характеристического уравнения k 2 6k 9	0 соответствующего однородного
~	неоднородного уравнения в виде
уравнения. Нахождение частного решения y	неоднородного уравнения в виде

(8.10) требует предварительного определения степеней многочленов в этой

формуле.

Правая часть исходного уравнения содержит многочлены первой и

~

оба многочлена должны

нулевой степени. Поэтому в виде частного решения y

быть высшей степени, т.е. первой:

y

ex

а

0

а x cos 2x

b

b x sin 2x .

1

0

1

Подставляя эту функцию и её производные y

ex

а

0

2b

а

cos 2x

0

1

а

2b xcos2x

b

2a

b sin 2x

b

2a

xsin 2x

и y

ex

3a

0

1

0

1

2a1

4b0

4b1 cos2x

a1

3b1 xcos2x

4a0

4a1

3b0

2b1

sin 2x

4a1

3b1

xsin 2x в исходное уравнение,

после преобразований получаем:

4a1

8b0

4b1 cos2x

8b1

xcos2x

8a0

4a1

3b0

4b1

sin 2x

8a1xsin 2x

cos2x xcos2x

sin 2x .

Система

для

нахождения

коэффициентов a0 ,a1,b0 ,b1 примет вид:

4a1

8b0

4b1

1,

8b1

1,

8a0

4a1

4b1,

8a1

0.

Решая

систему, находим

коэффициенты:

a

1

,

a

0 , b

3

,

0

16

1

0

16

b

1

.

Общим

решением

неоднородного

уравнения

будет

функция

1

8

y C e3 x

C

xe3 x ex

1

cos 2x

3

1

x

sin 2x

,

где

C

и

C

–

2

1

2

16

8

1

произвольные постоянные.

Пример 8. Указать вид общего решения дифференциального уравнения

2 y

y

e x

x2

3x cos 2x

x

1 sin 2x .

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.9). Контрольное число правой части

1

является

корнем

характеристического уравнения 2k 2 k

1

0 соответствующего однородного

уравнения. Нахождение частного решения

~

неоднородного уравнения в виде

y

31

(8.11) требует предварительного определения степеней многочленов перед синусом и косинусом в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены второй и первой степеней перед косинусом и синусом.

Поэтому частное решение ~ должно содержать многочлены второй степени, а y

именно

	y		xe	x а	0	а x	а	2	x2	cos 2x b		b x	b x2 sin 2x .
					0	1		2			0	1		2
Тогда			общее			решение					неоднородного			уравнения	таково:
y C e3x	C	2	xe3x	xe x		а	а x		а x2		cos 2x	b b x		b x2 sin 2x , где C и
1		2				0	1			2		0	1	2	1

C2 – произвольные постоянные.

9 Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений

Аппарат дифференциальных уравнений находит широкое применение для математического решения ряда экономических, экологических, демографических, социальных и физических прикладных задач.

В математическом исследовании любой задачи, касающейся некоторого реального процесса, выделяют следующие основные этапы:

1)построение математической модели явления или процесса;

2)изучение математической модели и получение решения составленной математической задачи;

3)практическое приложение полученных результатов на основе данной модели. Желательно также выяснить, какие явления или процессы можно описать

той же математической моделью.

В соответствии с вышеописанными основными этапами математического исследования задачи непосредственное решение распадается на пункты:

а) составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи; б) решение дифференциального уравнения; в) исследование полученного решения.

Как правило, рекомендуется следующая последовательность действий:

1.Установить величины, изменяющиеся в данном явлении.

2.Выявить законы (экономические, физические и т.д.), связывающие их.

3. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти.

32

4.Выразить все величины из условия задачи через независимую переменную, искомую функцию и её производные.

5.Исходя из условия задачи и закона, которому подчинено рассматриваемое явление, составить дифференциальное уравнение.

6.Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

7.Определить начальные или краевые условия для составленного дифференциального уравнения.

8.По начальным или краевым условиям найти частное решение дифференциального уравнения.

9.Исследовать полученное решение.

Рассмотрим практическую реализацию описанной схемы на примере некоторых экономических задач.

Задача 1. Для некоторого предприятия установлено, что скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна его прибыли с

коэффициентом пропорциональности k 1,1. Пусть y t выпуск продукции этого предприятия. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене p y . Предполагается,

что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара


p y	будет падать.			Известно,		что цена	одной единицы продукции задана
функцией		вида	p y	7	3y .	Полные	издержки предприятия выражаются
функцией		c y	6y	1. Составить дифференциальное уравнение для функции
y t .	Найти функцию y t				при условии, что в начальный момент времени

выпуск равен 100.

Решение

1.Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время t ,

выпуск продукции y y t , цена единицы продукции, прибыль, полные издержки предприятия, скорость роста выпуска.

2.Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

скорость выпуска продукции определяется как производная выпуска продукции по времени: dydt ;

выручка предприятия определяется как произведение цены единицы продукции на интенсивность её выпуска y р y ;

33

прибыль определяется как разность между выручкой предприятия y р yи полными издержками c y ;

скорость выпуска продукции в 1,1 раза больше его прибыли.

3.	Выбираем
	независимую переменную t;
	функцию переменной t, которую необходимо найти:		y y t .
4.	Выражаем все величины из условия задачи через независимую
переменную t, искомую функцию y		y t и её производную:
	прибыль предприятия y р y	c y = y 5 3y 6y	1
	3y2 y 1 ;

скорость выпуска продукции у dydt .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

		dy		= 1,1 3y2	y 1 .

		dt
6. Найдём	общее		решение составленного дифференциального
уравнения.
Получили дифференциальное			уравнение		первого порядка с разделяющимися

переменными. Разделяя переменные, получаем:

10			dy				dt ,	10					dy				dt ,

11 3y2				y 1				33			y2			1	y	1
								33						1		1

													3			3
10			dy				10							dy				10		dy

33	y	2		1	y	1	33		y	2	2	y	1			1	1	33	y	1	2	1

				3		3							6			36	36
																				6		36

		замена :				y	1	m															m	1
											10			dy		10				1				6
							6															ln			C


		dy		dm							33		m2		1	33		2			1		m	1
											33				1	33					1			1
																				6				6
										y	1		36
													36
									6				1

	10			6m	1		10									10				6 y
			ln			C		ln			6				C		ln						C .
											6
												1
11				6m	1		11		6	y		1	1			11			6 y			2
									6	y	6		1
											6

34

10

6 y

11

t C

6 y 6 y 2 e

t C

ln

t C ,

e

10

,

10

,

6 y 2

11

6 y

2

11

t

C

11

t

C

6 y 1

e 10

2e 10

.

Общим

решением

является

функция

11

t

C

y

e 10

.

11

t

C

3 1

e 10

7. Определяем начальное условие: y 0 100.

8. По начальным условиям найдём частное решение.

Поскольку y 0

100, получаем уравнение

11

С

100

e

10

.

11

С

3 1

e 10

11

300

e

С

. Следовательно, частное решение, удовлетворяющее

Откуда

10

301

11

t

начальным условиям, имеет вид y

100e 10

.

11

t

301

300e 10

9. Исследуем полученное решение.

Построим график частного решения.

35

Материал: 5561

Смотрите также: